四角形で面積が2倍だと対角線は何倍でしょうか。

質問

軽い質問ですみません。
四角形で面積2倍だと対角線は何倍になるのでしょうか
あと、正四角形と長方形でも同じでしょうか。
計算式にすると割と難しくなるような気がしますけど
できれば式も教えていただけたらとおもいます。
よろしくおねがいします。

回答No.3

naniwacchi · ベストアンサー

ルート（√）の計算を知っているという前提で話をします。

まず、正四角形（正方形）で考えてみます。
・1辺の長さが１の正方形は面積も１（＝１×１）になります。
・1辺の長さが√2の正方形は面積が２（＝√2×√2）
辺の長さは、√2倍になるということです。
正方形は、相似形（同じ形）をしているので、
大きさが変わっても面積が2倍になれば、辺の長さも対角線の長さも√2倍になります。

次に普通の四角形を考えます。
考えている四角形を非常に小さな正方形で分割することを考えます。
それぞれの正方形の1辺（対角線）を√2倍にすると、それぞれの面積は2倍となります。
結果、全体である四角形も面積は2倍になります。

お礼

なるほど、長方形についてはそうかんがえるんですね。
ありがとうございます。

回答No.6

unchikusai

面積が２倍の四角形が、元の四角形と相似もしくは正方形の場合は√２倍。

・正方形の場合。一辺がa、面積がsとし、aをx倍すると、面積が2倍となる。
s=a2(a二乗）
2s=a2*x2
x2=2
x=±√２
一辺を√２倍すると、面積は２倍となる。
対角線は辺aと辺aで直角を挟んだ、直角二等辺三角形の斜辺であるから、対角線も√２倍となる。
・相似な四角形の場合。一辺がそれぞれa,b、面積をsとし、a,bをそれぞれxると、面積が2倍となる。
s=ab
2s=abx2
x2=2
x=±√２
一辺を√２倍すると、面積は２倍となる。
対角線cは辺aと辺bを直角を挟んだ、直角三角形の斜辺であるから、対角線も√２倍となる。

　相似の長方形と断ったのは、たとえば
縦=1,横=24の長方形と、縦=3,横=4の長方形では面積の違いは２倍であるが、対角線の違いは２倍以上になっています。

お礼

そういえば相似じゃないと対角線の長さかわりますよね。
時間掛けて読ませていただきます。
ありがとうございます。

回答No.5

gohtraw

「対角線」というのは「対角線の長さ」ということですよね？＃１さんの回答の通り、相似であれば面積２倍のとき対角線の長さは√２倍です。ついでに辺の長さも√２倍です。
　対角線（辺）の長さがｎ倍になったときに面積がｍ倍になるとすると、ｍ＝ｎ×ｎ
になります。式で表わせば。

お礼

なるほど！辺がｎ倍だと面積はｎの２乗倍ですね！
ありがとうございます。

回答No.4

char2nd

長方形を例に取りましょう。

　基になる長方形の短辺の長さををａ、長辺をｂ、対角線をｃとします。すると面積はａ×ｂですね。
　面積が２倍となるとき、２×ａ×ｂですから、相似形であれば短辺は√２×ａ、長辺は√２×ｂとなります。対角線も同じ比率ですから、√２×ｃとなります。
　これは正方形はもちろん、どのような平面図形でも相似形であれば成立します。

お礼

2倍だと辺は√2倍、対角線も√2倍ですね
覚えときます。

回答No.2

bgm38489

式を考えると…正方形の場合、一辺の長さは、√２倍になりますよね。面積は一辺の長さの平方だから。すると、対角線で分けられる二等辺直角三角形は相似なわけだから、斜辺、即ち対角線も√2倍。
どんな四角形でも、三角形に分けて考えれば、相似ということがつかめると思います。即ち、各辺、対角線の長さは、√2倍。

お礼

ありがとうございます
なんだか1：1：√2とかいう式が調べたら出てきました
まったく覚えてませんでした。

回答No.1

notnot

どんな図形でも相似形なら、ルート２倍です。
式。。。式は無理だなあ。対角線の長さが2倍になると面積4倍だからということで。

お礼

ありがとうございます。
なんとか計算してみて
１ｃｍ四方だと対角線が√２ｃｍで
2倍の面積だと対角線が２ｃｍになって
２/√２＝√２倍。　となりました。

＞対角線の長さが2倍になると面積4倍だからということで。
こういうのがパッとわかればいいのになぁと思います。
ちょっと考えてみます。ありがとうございます。