確率の問題を教えて下さい

質問

ある50人の集団Ａと、これとは別の100人の集団Ｂを比較して、
この二つの集団に顔が似ている人が存在する確率について考える。
ある１人の人が、別の１人の人と顔が似ている確率を1/100とする。
顔は似ているか似ていないかのどちらか一方であるとする。
ｐｑｒを人として
ｐがｑに似ていて、ｑがｒに似ているとき、
ｐはｒに似ているものとする。

(1)集団Ａの1人と集団Ｂの1人の顔が似ていて、その1組以外では似ている人が存在しない確率を求めよ。
(2)集団Ａの10人と集団Ｂの10人の顔が、それぞれ似ていて、その10組以外では似ている人が存在しない確率を求めよ。
(3)集団Ａのｎ人と集団Ｂのｎ人の顔が、それぞれ似ていて、そのｎ組以外では似ている人が存在しない確率を求めよ。
ただしｎ≦50とする。

この問題、お願いします。
自分で考えても、分りません。
(電卓使用OKの問題です)

回答No.1

apollonius

まず一組だけが似ている場合を考えると、集団AのA1さんと集団BのB1さんが似ているとします。その確率は1/100で、かつ、A1さんはB1さん以外の残りの148人の人とは似ていないわけですから、その確率は(99/100)^148となります。ここで、A1さんが他の148人の人と似ていなければ、B1さんもこれら148人とは似ていないことに注意します。なぜなら、もしB1さんが148人のうちの誰かと似ていたとすると、仮定により、A1さんもその人と似ていることになってしまうからです。

ところで、A1さん、B1さん以外の残りの148人は互いに似ていないわけですから、その確率は、まず、148人から二人選び出す選び出し方はC(148,2)通りあり、その二人が似ていない確率は(99/100)ですから、けっきょく148人全員が互いに似ていない確率は(99/100)^C(148,2)となります。

集団Aから一人、集団Bから一人選んで組にする組み合わせ方は、50*100通りありますから、一組だけが似ている確率をP(1)と書くことにすると、

　P(1)=50*100*(1/100)*(99/100)^148*(99/100)^C(148,2)

となります。

次に、二組だけが似ているとすると、まず上と同様に一組似ているもの同士を選び出して、集団Aの残りの49人の中のひとりA2さんと集団Bの残りの99人の中のひとりB2さんが似ているとします。この二人が似ている確立は1/100、また、A2さんは残りの146人の人とは似ていないので、その確率は(99/100)^146となります。また、残りの146人は互いに似ていないわけですから、その確率は、146人から二人選び出す選び出し方がC(146,2)通りあり、その二人が似ていない確率は(99/100)ですから、けっきょく146人全員が互いに似ていない確率は(99/100)^C(146,2)となります。集団Aの49人から一人、集団Bの99人から一人選び出して組にする組み合わせ方は49*99通りありますから、二組だけが似ている確率P(2)は、

　P(2)={50*100*(1/100)*(99/100)^148}*{49*99*(1/100)*(99/100)^146}*(99/100)^C(146,2)

となります。

同様に考えていくと、n組が似ている確率P(n)は、

　P(n)={Π[k=1～n](50-(k-1))*(100-(k-1))*(1/100)*(99/100)^(150-2k)}*(99/100)^C(150-2n,2)

となります。ただし、Π(パイ)[k=1～n]は、k=1～nまでの積を表わすとします。

実際、P(1)を計算してみたところ、P(1)≒3.7379*10^(-47)とかなり小さい数字になりました。