指数関数の問題について

質問

a=^3√(√65/64＋1)－^3√(√65/64－1)とする。

(1)aは、整数を係数とする3次方程式の解であることを示せ。

(2)aは整数でないことを証明せよ。

よろしくお願いします。

回答No.4

rnakamra · ベストアンサー

(2)の別の示し方。

aの満たすべき方程式
4a^3+3a-8=0
これを変形すると
a(4a^2+3)=8
aが整数であるとすると、4a^2+3は3以上の奇数となる。
整数×3以上の奇数が8になることはありえないから矛盾。
よってaは整数ではない。

回答No.3

mister_moonlight

＞(2)のf(1)とf(2)の1と2はどこから出てきたのでしょうか。

もし、与方程式に整数解があれば、（定数項）/（a＾3の係数）＝2　の正と負の約数、つまり、±1、±2　だから。

回答No.2

mister_moonlight

α＝√（65/64）＋1、β＝√（65/64）-1　と置く。
α－β＝2、αβ＝1/64　‥‥(1)　であるから、a＝（3）√α-（3）√β　の両辺を3乗すると、a＾3＝（α-β）-3（3）√αβ*{（3）√α-（3）√β}＝2-（3/4）a →　4a＾3＋3a-8＝0.　(1)による。

(2)aは整数でないことを証明せよ。

f（a）＝4a＾3＋3a-8＝0とすると、f´（a）＝12a＾2＋3＞0となり、f（a）は単調増加関数である。
従って、f（1）＝-1、f（2）＝30　であるから、1＜a＜2に解を持つから、aは整数ではない。

計算に自信なし、チェックしてね。

お礼

ご丁寧な回答、本当にありがとうございました。
教えていただいたことを基に精進したいと思います。

補足

ご回答ありがとうございます。
補足質問なのですが、(2)のf(1)とf(2)の1と2はどこから出てきたのでしょうか。

回答No.1

rnakamra

式の書き方にご注意ください。
√65/64-1と書くと、(√65)/64-1なのか、√(65/64)-1なのか判別がつきません。
√の優先順位を/よりも高くとってしまうと前者の読み方しかできません。

多分、後者の書き方であると考えてヒントを出します。

(1)α=^3√(√(65/64)＋1),β=^3√(√(65/64)－1)とおくと
α^3-β^3=?(自分で計算してください) (A)
α^3-β^3=(α-β)(α^2+αβ+β^2)
=(α-β){(α-β)^2+3αβ}
α-β=a,αβ=?(自分で計算してください)→α^3-β^3=a(a^2+?) (B)
(A)と(B)からaに関する方程式が得られます。

(2)　(1)から導くことになります。まずは(1)を解いてください。

(1)から得られる方程式と(2)の証明の道筋を補足にどうぞ。