文系な私にもわかるように教えてください

質問

ｘ＝√５－√３を解とする整数係数で、係数の最大公約数は１のもののうち、次数の最低なものを求めよ。また、その方程式の他のすべての解を求めよ。

私の予想では四次式で解は√３－√５なんですが、証明はできません。ぜひ教えてください。お願いします。

回答No.3

oberon · ベストアンサー

x = √5 + √3

　2
x 　= 8 + 2√15

　3
x 　= 14√5 + 18√3

　4
x 　= 124 + 32√15

なので、ｘとｘの３乗から根号を消すことはできませんが
ｘの２乗とｘの４乗から根号を消すことができます。
また、これから得られた４次方程式の解法は
　2
(x - 8) = 60

　2
x 　- 8 = ±2√15

　2
x 　= 8 ±2√15

　　　　　　　2
= (√5 ± √3)

したがって
x = √5 + √3 , √5 - √3 , - √5 + √3 , - √5 - √3

お礼

ありがとうございました。おかげで理解することができました。

回答No.4

rinri503

実数係数の方程式で無理数を解にもてば無理数部分の符号
の逆のものも解である
　よって　√５＋√３も解である、この２解をもつ方程式　は
　｛ｘ－（√５＋√３）｝｛ｘ－（√５－√３）｝＝０
　　　ｘ＾２－２√５ｘ＋２＝０
　｛（ｘ＾２＋２）＋２√５ｘ）｛（ｘ＾２＋２）－２√５ｘ）＝０　展開して
　　　　ｘ＾４－１６ｘ＾２＋４＝０　・・・（１）
　解はｘ＾２＝８±２√１５
　　　ｘ＝±二重根号８±２√１５＝±（√５－√３）
　　（１）は整数係数で題意に適する

回答No.2

mirage70

#1で合っていますが、判りにくいと思いますので、素直な回答を書きます。ルートを１個ずつはずすことを考えましょう。
ｘ＝√５－√３より、x+√3=√5と変形し、両辺を二乗します。x^2+(2√3)x+3=5これを再度変形しx^2-2=-(2√3)x
再度、両辺を二乗します、x^4-4x^2+4=12x^2後は整理すれば#1と同一の答えがでます。

お礼

よく考えたら、x^4-16x^2+4=0を因数分解したら解が出ますよね？よくわかりました。ありがとうございました。

補足

係数の最大公約数は１のもののうち、次数の最低なものを求めよというのがx^4-16x^2+4=0ですか？
その方程式の他のすべての解を求めよの答えはどのようにだすのでしょうか？

回答No.1

tarame

1/x＝(√5+√3)/2 より　2/x＝√5+√3
x^2＝8－2√15
(2/x)^2＝8＋2√15
よって
x^2+(2/x)^2＝16 だから
x^4＋4＝16x^2
ゆえに
x^4－16x^2＋4＝0 となります

お礼

ありがとうございます。