二次関数の問題です。

質問

１ 次の条件を満たすような定数aの値の範囲を求めよ。

(1)二次方程式２x2－３x＋a＝0の１つの解が0と１の間にあり，他の解が１と２の間にある。

(２)二次方程式２ax2－(a＋２)x－５＝0の１つの解が－１と0の間にあり，他の解が２と３の間にある。ただし，a＞0とする

回答お願いします (´;∀; `)

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

(1)
f(x)=2x^2-3x+a
とおくとx^2係数2＞0なので与条件が成り立つ為の必要十分条件は
　f(0)>0 かつ　f(1)<0 かつ f(2)>0
これから　
　a>0 かつ a-1<0 かつ 2+a>0
aの共通の範囲を求めれば良い。
aの範囲は分るね。

(2)
f(x)=2ax^2 -(a+2)x-5
とおくとx^2係数2a＞0,f(0)=-5<0 なので、
与条件が成り立つ為の必要十分条件は
　f(-1)=3(a-1)>0 かつ　f(2)=3(2a-3)<0 かつ f(3)=15a-11>0
　a>0 かつ a<3/2　かつ　a>11/15
aの共通の範囲を求めれば良い。
aの範囲は分るね。

お礼

解き方細かくありがとうございます！わたしでも解りやすく書いてくれて嬉しかったです！

回答No.5

noname#146456

下記の図で不備があったので少し修正しておきます。
（これでも分かりにくいかな…）

お礼

グラフありがたいです！

回答No.4

noname#146456

こんにちは。

少し違った視点から考えてみますね。

左辺をまとめて扱ってしまってもいいのですが求めたいのはaの値の範囲
なので何とかaを分けることができないか考えてみます。

(1)これは与えられた方程式を
2x^2-3x=-a…(*)
と変形することで簡単にaを分けることができます。

すると左辺は
x(2x-3)
となります。

すると
y=x(2x-3)
のグラフは2点(0,0),(3/2,0)を通る放物線になります。

一方
y=-a
のグラフを考えるとこれはx軸に平行な直線になりy軸との交点は
(0,-a)となります。

するとこの放物線と直線の交点のx座標は2つの式からyを消去して
x(2x-3)=-a
によって求めることができます。
するとこれは(*)と同じ式になります。
したがって求める解はこの交点のx座標に一致することになります。

すると放物線y=x(2x-3)は固定されているので直線y=-aのaの値を
変化させると下図(1)のようになります。

すると放物線と直線の交点のx座標の1つが0＜x＜1にきてもう一つが
1＜x＜2にくるようなaの範囲を見つければよいことになります。

すると直線が下図(1)の黄色の領域にあるときにそうなることが分かる
ので求めるaの値の範囲は
-1＜-a＜0
∴0＜a＜1
となります。

(2)こちらはやや強引な回答になるかもしれません。。。

aを分けるのはちょっと難しそうですが取りあえずaについて整理すると
(2x^2-x)a-2x-5=0
∴(2x^2-x)a=2x+5
となります。

すると0＜aなのでaで割ることができるので
2x^2-x=(2x+5)/a
となります。

すると左辺はx(2x-1)となるので(1)と同様に考えるとこれは
2点(0,0),(1/2,0)を通る放物線になります。

一方、右辺は(2/a)*(x+5/2)となりこれは点(-5/2,0)を通り
傾きが2/aの直線になります。

したがって放物線y=x(2x-1)と直線y=(2/a)(x+5/2)の交点の
x座標が-1＜x＜0と2＜x＜3にくるようにaつまり直線の傾きを
調整すればよいことになります。

すると放物線y=x(2x-1)上の点でx=-1,0,2,3のときの座標は
それぞれ(-1,3),(0,0),(2,6),(3,15)となります。

すると直線y=(2/a)(x+5/2)が
点(-1,3)を通るとき
3=(2/a)(-1+5/2)よりa=1となり傾きは2となります。

点(2,6)を通るとき
6=(2/a)(2+5/2)よりa=3/2となり傾きは4/3となります。

点(3,15)を通るとき
15=(2/a)(3+5/2)よりa=11/15となり傾きは30/11となります。

すると4/3＜2＜30/11なので
放物線y=x(2x-1)と直線y=(2/a)(x+5/2)の交点のx座標が
-1＜x＜0と2＜x＜3にくるのは直線が下図(2)の黄色の領域に
あるときなので求めるaの値の範囲は
1＜a＜3/2
となります。

(2)はちょっと強引で難しいですね。
ただこのように考えるとaの変化が視覚的に分かるので状況を
把握しやすくなるとは思います。

このようにaを分けて考える方法を「定数分離法」と言います。
入試レベルでは結構頻出分野なので覚えておいて損はないと思います。

よかったら参考にしてください(^_^)

お礼

すっごい細かく解いてくれてほんとうにありがとうございます！グラフまでつけてくれたので理解深まりました(´;∀; `)ありがとうございます！

回答No.3

noname#157574

“二次方程式”と書くならば“一つ”と漢数字で書け。我々の時代はそうだった。

お礼

そうですよね！わかりました( ^О^ )！

回答No.1

ferien

１ 次の条件を満たすような定数aの値の範囲を求めよ。

>(1)二次方程式２x2－３x＋a＝0の１つの解が0と１の間にあり，他の解が１と２の間にある。

f(x)＝２x2－３x＋aとおくと、このグラフは、下に凸な放物線。
解が０と１の間にある条件は、ｆ（０）＞０，ｆ（１）＜０
解が１と２の間にある条件は、ｆ（１）＜０，ｆ（２）＞０
これら３つのの不等式を解いてａの範囲を求めます。共通部分が求めるａの値の範囲です。
ｆ（０）＝ａ＞０　ｆ（１）＝－１＋ａ＜０　ｆ（２）＝２＋ａ＞０
共通部分は、０＜ａ＜１

>(２)二次方程式２ax2－(a＋２)x－５＝0の１つの解が－１と0の間にあり，他の解が２と３の間にある。ただし，a＞0とする

f(x)＝２ax2－(a＋２)x－５とおくと、ａ＞０だから、このグラフは下に凸な放物線。
解が－１と０の間にある条件は、ｆ（－１）＞０，ｆ（０）＜０
解が２と３の間にある条件は、　ｆ（２）＜０，ｆ（３）＞０
４つの不等式からａの範囲を求めます。共通部分が求めるａの値の範囲です。

解き方は、上と同じです。

お礼

分かりやすくありがとうございますっ参考にして自分でも解いてみます！