cosθのべき数

質問

cosθが冪であらわされるということを
微分を使わないで証明する方法はあるでしょうか？

回答No.1

rnakamra · ベストアンサー

cosθ=Σ[n:0～∞]an*θ^n
で表したとき、anを求めることはできます。
θ=0を代入すると
1=a0→cos=1+Σ[n:1～∞]θ^n

cosθ=2{cos(θ/2)}^2-1　に上記の式を代入して、両辺のθの次数が同じ項について係数を比較する。
1次の項を比較すると、
a1*θ=4*a1*θ　これがθについての恒等式であるためa1=4*a1→a1=0
3次、5次と同様に行うとan(n:奇数)=0が示せる。

2次の項を比較すると
a2*θ=4*a2*(θ/2)　これは常に等しい。
4次の項を比較すると
a4*θ^4=4*a4*(θ/2)^4+2(a2)^2*(θ/2)^4→6a4=(a2)^2
同様に関係式を導くことができます。

a2についてはこれだけでは値をだすことができません。
今までの式はθの単位のとり方に全く依存しない式のみを使用してましたが、a2の係数を決定するにはθの単位のとり方に依存するため、単位依存の式が必要となるからです。
θ=π/2の時の値を使うのもよいのですが、かなり式が複雑(というよりも無限元の連立方程式となる)で解けません。
どうしても必要であればlim(θ→0){(cosθ-1)/θ^2}=a2ですからこの式から導くことになるでしょう。(この式自体はθの単位に依存しないが、この極限の値は単位のとり方に依存する)

お礼

ありがとうございました！　さんこうにします＾＾