√A^2の式の根号のはずし方

質問

数学の質問です

√(a^2-6a+9)の根号をはずして表せ。
という問題があるんですけど、これってどうやって根号をはずすんですか？
教えてください。。

解説をみると
√(a^2-6a+9)=√(a-3)^2=|a-3|となって場合分けをしてるようです。
でも、なぜ絶対値が出てくるんですか!?
また、場合分けはどういうときに使うものなんですか？

宜しくお願いします

回答No.3

Knotopolog

もう，すでに納得されたかも知れませんが，納得していないかも知れないので，
投稿しておきます．

√(a－3)^2　の，a－3　が正でも負でも　(a－3)^2　全体は正です．
その結果　√(a－3)^2　の２乗がとれて，a－3　となります．すなわち，

√(a－3)^2 ＝ a－3

です．ところで，この式の右辺の　a－3　は，正の数でなければなりません．
なぜならば，√(a－3)^2　が正だからです．

a－3　が正になるためには，a　が　3　より大きくなければなりません．
ところが，a　の大きさの範囲は，問題には書いてありません．
そこで，a－3　全体が負になった時でも，a－3　を正の数にするために，
a－3　の絶対値をとり．｜a－3｜として，正の数にしておくのです．

ちなみに，a＝3　の時は，√(a－3)^2 ＝ 0　です．

＞＞＞また、場合分けはどういうときに使うものなんですか？

ここで言う「場合分け」の意味が，理解できませんので，
「場合分け」については書かないことにしておきます．

回答No.2

sugijinja

前半の質問だけ回答します
たとえば　「３」の２乗も「－３」の２乗も　９だから
両方を一度に表現するのに絶対値を使っています
解が数値なら「±」で表現できますが「a－３」という数式なので
それが出来ないので絶対値記号を使っています

回答No.1

info22

√記号の表す意味

√(A^2)は自乗してA^2になる数の正の方を表す記号です（A=0の場合も含める）。

-√(A^2)は自乗してA^2になる数の負の方を表す記号です。

>√(a^2-6a+9)=√(a-3)^2
a-3≧0の場合は　√(a-3)^2=a-3(≧0)
a-3＜0の場合は　√(a-3)^2=-(a-3)(＞0)
2つの場合をまとめて書くには絶対値を使って
|a-3|（≧0）
と書けばいいですね。