微分法

質問

関数f(x)がx=aにおいて連続であってもf(x)はx=aにおいて微分可能であるとは限らない。
とはどういうことですか。分かりません。。

回答No.3

sanori · ベストアンサー

こんばんは。

Ｎｏ．１様が例示されている絶対値の関数が好例です。

イメージとしては、
ｙ＝ｆ（ｘ）　のグラフが、ｘ＝ａ　で「くの字」に折れ曲がっていると、微分可能ではありません。
（曲げていても折り目がついていない紙が微分可能に相当、
　折り目がついている紙が微分可能でないものに相当）

以上、ご参考に。

回答No.5

Tacosan

ああ, そういえば「いたるところ微分不可能な連続関数」もあったっけ.

回答No.4

arrysthmia

No.2 の例とか、
f(x) = x sin(1/x) とかの方が、
「微分不能」のイメージとしては、
基本的かと。

片側極限で刷り込んでしまうと
高次元で困るし、
何より、極限の理解として
美しくない。

学校の教科書は、絶対値の例が
好きだけれど。

さて、f(x) が微分可能とは、
h→0 のとき
｛ f(x+h) - f(x) ｝/h が収束すること。
f(x) が連続とは、
この式の分子が 0 に収束すること
だから、
連続かつ微分不能は、
0/0 が不定であること
に尽きる。

回答No.2

Tacosan

f(x) = x^(1/3)....

回答No.1

info22

次の関数はx=aで連続ですが、x=aで微分可能ではありませんね。
f(x)=|x-a|

連続の定義を満たしています。
しかし、x=aにおける右方微係数「１」と左方微係数は「-1」であり、それらが一致しません。f(x)のx=aにおける右方微係数と左方微係数が一致しない時、x=aで微分ができない（微係数が存在しない）と言います。

滑らかに変化する関数は微係数も連続になりますね。