円の面積の重なり

質問

円の面積について質問です。
得意なかた、ぜひ教えて下さい。

円を半径の1／6の距離、移動させます。
元の円と、移動後の円は、どれだけの面積が重なっていますか？

回答No.2

jamf0421 · ベストアンサー

もとの円を
x^2+y^2=r^2...(1)
とします。また中心を(1/6)rずらした円を
(x-r/6)^2+y^2=r^2...(2)
とします。(1),(2)を連立させた式で二円の交点が出ます。容易に判るように(1)-(2)から
x=r/12...(3)
半径の1/6をずらしたことからこれは自明です。重なり部分は交点を通るx=r/12の線に対して線対象の弧で囲まれた部分です。動かす前の円についてのx=r/12からx=rまでの面積の２倍と考えればよいことがわかります。
従って
I=2∫(r^2-x^2)^(1/2)dx...(4)
をだして、これを２倍すればよいと判ります。積分に２がかかっているのはx軸に対して上下の面積を合計するからです。
x=rsinθ...(5)
とすると
dx=rcosθdθ...(6)
であり、x=r/12→rに対してθ=arcsin1/12→arcsin1です。(4)の積分は、
I=2*r^2∫cos^2θdθ...(4)'
となり、cos^2θ=(cosθ+1)/2を使えば
I=r^2[(1/2)sin2θ+θ](θ=arcsin1/12→arcsin1)
=1.4043r^2...(4)''
これを２倍すれば求める面積ですから2.8086r^2となります。元の円の面積3.1416r^2の89.4%となります。

お礼

ありがとうございます！
約9割も重なるんですね。
仕事でその数値を必要としていたので、助かりました。

回答No.1

rnakamra

図示できると良いのですが、文章だけで失礼します。

元の円の中心をO,ずらした円の中心をO',二つの円の交点をA,B,円の半径をrとします。
求める面積は、
扇形OABの面積+扇形O'ABの面積-菱形OAO'Bの面積
となります。

これを求めるためには扇形の中心角∠AOB(=∠AO'B)の大きさが必要です。
この角を2θとおきます。
OO'の中点をCとすると、
cosθ=OC/OA=(r/6/2)/r=1/12
θ=arccos(1/12)
となります。
中心角がわかりましたので扇形の面積はすぐに出せます。

菱形の面積は二つの対角線の長さの積の半分です。
OO'=r/6
AB=2OC=2√(r^2-(r/12)^2)
から菱形の面積を出せます。

お礼

すみません。
難しくてよくわかりません。
θは何度ですか？
結局、何％くらい重なっていますか？