円の面積教えてください。

質問

直結3cmの真円と半径3cmの真円は互いに倍と半分の面積ではないのですか？

円だと成り立たないのですか？

回答No.7

noname#221368 · ベストアンサー

皆さんの仰る通りですが、回転体の場合はちょっと不思議な感覚に襲われるのは、自分も経験があります。

　ここで回転体とは、何かをある点を中心に回した時にできる図形です。

　長さ3cmの直線をその中点を中心に回せば半径1.5cmの円で、長さ3cmの直線を端を中心に回せば半径3cmの円ですよね？。

　同様に、直角三角形を直角を挟むどっちかの辺を回転軸として回すと、どうなるか？。できる図形は三角錐になるんですが三角錐の体積は、直角三角形の高さ，底辺と同じ長さの辺を持つ長方形を回転させた円柱の体積の、何分の一か？。

　1/3なんですよね。自分は最初、絶対に1/2だと思ったが違った(^^;)。

　円の場合は直線をその左端を中心に回すとして、3cmの直線が例えば10°回転した時の扇形の弧の長さと、1.5cmの直線が10°回転した時の扇形の弧の長さを比較すれば、1/4は納得できませんか？。

お礼

勘違いに陥り安いと伺いまして、自分だけじゃないと安心しました。

回答No.8

Water_5

それよりも
何故、円の面積はπｒ＾２か？と言う質問だったら
大したものだったが。少し残念だったな。

私も知らないだけに。

回答No.6

mpascal

直径で計算するのだったら一番簡単な計算は、

0.7854×直径×直径です。

＞直径6cmと直径3cmの真円では…どうでしょう？

直径を２回かけるので、面積は２の自乗で４倍違いますね。

お礼

ありがとーございました。

勘違いがかえって賢くなりました。

回答No.5

noname#212313

面積って、「積」という字が入っていますね。積とは、かけ算のことです。

　考えやすい正方形から始めてみます。1辺が1cmの正方形をロで表すことにします。

　ロ

　これの面積は1cm×1cm＝1平方センチです。1辺が2倍になるとどうなるか。

　ロロ
　ロロ

　正方形ですから、縦だけ、横だけ2倍ではないですね。同じ形で1辺が2倍になるためには、縦にも横にも2倍にしないといけません。1辺が2cmの正方形になるわけです。すると面積は、2cm×2cm＝4平方センチです。4倍になっています。

　1cm×1cmと2cm×2cmを見比べてみると、1辺が2倍になるとき、面積は2倍をさらに2倍しています。実は「平方センチ」の「平方」って、「2回かけ算する」という意味なんです。

　1辺を3cmにするとどうでしょうか。

　ロロロ
　ロロロ
　ロロロ

　3cm×3cm＝9平方センチですね。3倍のさらに3倍です。正方形の面積の公式は「1辺の長さ×1辺の長さ」ですから、公式からも1辺を2倍すれば、2倍の2倍になることが分かります。

　長方形ではどうでしょうか。縦1cm、横2cmの長方形をロロと書いてみることにします。

　ロロ

　1cm×2cm＝2平方センチですね。各辺を2倍すると、

　ロロロロ
　ロロロロ

になります。2cm×4cm＝8平方センチですね。ロロが2平方センチですから、2倍のさらに2倍、つまり4倍です。長方形の面積の公式は「長い辺の長さ×短い辺の長さ」ですから、辺の長さがかけてあり、式にある辺は二つですから、各辺の長さが2倍になれば、2倍の2倍であることが読み取れます。

　三角形だと面積の公式は「底辺の長さ×高さ÷2」です。相似形の三角形だとして、て底辺の長さを2倍すると、高さも2倍にする必要があります。2で割るのは共通です。すると、やはり長さとして2倍にするのは、底辺も2倍、高さも2倍で、面積は2倍の2倍で4倍となります。

　円の面積は「円周率×半径×半径」ですね。円周率はどんな大きさの円でも同じです。半径が2倍になると、面積の計算は半径を2回かけていますから、半径が2倍になれば、面積は2倍の2倍で4倍になります。

　相似な図形は、長さで測って2倍になるなら、面積は2倍の2倍で4倍になっていますね。長さで3倍なら、面積は3倍の3倍で9倍になります。これは、実は面積の公式がないような図形でも成り立ちます。

P.S.

　体積は、長さが2倍になれば、2倍の2倍の2倍で、8倍になります。どんな形の立体でも成り立ちますが、立方体が一番分かりやすいでしょう。1辺が1cmの立方体は1cm×1cm×1cm＝1立方センチです。1辺が2倍になれば、2cm×2cm×2cm＝8立方センチですね。実は「立法」は「3回かけ算をする」という意味なんです。

回答No.4

noname#210555

いやうん。直径６センチと直径３センチでも似たようなもんです。
正方形に換算して考えてください。
円以外でも倍ではないです。単純には４倍ですから。

正方形の辺を二倍にした大きさの正方形にするためには
その正方形は４つ必要でしょう？

いいから、公式を使ってその面積をもとめ、
図にカキ起こしてその差を眺め、
模型をつくって前述のサイトのやり方で展開図をつくり

「倍じゃない理由」をみてみてください。

回答No.3

noname#210555

えぇ～…と。
円以外でも倍と半分じゃないけど…。
直結と直径は別のもの…か？

その長さの長方形（直径３センチ、つまり３×３）と（３＋３＝６の６センチの長方形）を考えてみようか。

３×３＝９
６×６＝３６　これは倍の数値ではないですよね。

方眼紙をつかって、円を□に換算してかんがえてみるとわかりやすいかも。

１．５×１．５×３．１４と３×３×３．１４を計算してみて
その答えの差を測るとわかりやすいと思います。

あと、はい。

http://ash.jp/code/size.htm

補足

デカイ勘違いでしたm(__)m

基準を間違ってました、直径6cmと直径3cmでした…

回答No.2

FEX2053

半径×半径×円周率ですからね。
１／２×１／２×３．１４ですもん。１／４になっちゃいます。

要は正方形の「縦×横」が「半径×半径」になってるだけです。

補足

ですよねぇ_(^^;)ゞ
デカイ勘違いしてました。

直径6cmと直径3cmの真円では…
どうでしょう？

両方から計算すると倍と半分にならないんですよねぇ…

回答No.1

tzd78886

「直結」は、「直径」の誤りと考えると、

円の面積は

半径×半径×πですから、

直径3cmの場合

1.5×1.5×π＝2.25π

半径3cmの場合は

3×3×π＝9π

補足

直結× 直径の誤りですm(__)m