正確な円の面積だすのって可能なんですか？

質問

文系の学生です。もちろん専門知識はありません。ご了承ください。
それで円の面積は確か　半径×半径×π　だったと思います。
でもπって永遠に続きますよね。だから答えも全く正確じゃないと思うんです。
でもふと思ったんですが、円の形を無理やり四角形に直してみたら、もしかして・・・って考えたんですけど。こうゆう事は可能なんですか？
（例えば丸い高さを考えない豆腐を一旦潰して正確な四角形に直したり・・・）

回答No.8

pen2san · ベストアンサー

円の面積を求める際、πでなく、別な方法を使えば数学的に正確な円の面積を求めることが出来ます。

１）まず、円からはみ出さない最大の正三角形Ａを考えます。この場合、３角形の３つの頂点は円に接しています。
２）次にどの辺も円の内側に入らない最小の正三角形Ａ’を考えます。この場合、正三角形の各辺は円に接しています。
３）よって、円の面積Ｓは、Ａ’＞Ｓ＞Ａの範囲にあります。
４）次に正三角形を正四角形に置き換えて同様なことを考えます。
５）更に正四角形を正五角形で考えます。
６）同様に正六角形、正七角形、、、、、と多角形の角数を増やして行きます。
７）角数は無限に増やす事ができますがＳの値はある一定の値に近づきます。角数が無限になった際のＳの値を極値と言い即ち円の面積になります。

各数が無限に増やす事が出来るのに面積の値はある一定値に近づくと言うのは面白いですね。

高校程度の積分の手法が分れば簡単に理解できる内容です。

お礼

なるほど！！何やらわかったような、わからないような。。。
でも何となく実際の近似値に近づいていくのは想像できます。
微分積分、勉強してみます。

回答No.7

noname#598

πとか、√２とか、いわゆる無理数の連中って、
人間の（計測）能力を越えてる数字ですからね。
そういう数字があってもいいじゃないですか。ね。
πはπなんですよ。

回答No.6

dry-6

測るもなにも、全くの真なる円は存在しないと思いますよ。

回答No.5

akino4

えっと。とりあえず、実際のものを使って計測って案は理論上できるんだろうけど
そのものが現実世界にあるものとなると、すでに原子レベルのってかんがえると
無理なのは明白ですよね。
いいんですよ。どうせ微小の世界だとすでに確立でしか認知できないから
自分の欲しい精度までで。ってのが工学部の意見です（笑）
微小の世界については量子力学とか単語で引くと暗号のような文章がいっぱい
でてくるので解読してみてください（＾＾；
ちなみに、πの値は工学部みなたいな実学じゃなくて数学やさんの世界では
円周と直径で定義されているのでπ自体は正確な値です。
確かに数字では表現できないけど定義があれば値として成立しちゃうんですよね
虚数とかなら文系でも高校でもならうかな？感覚的にはあれといっしょだと思う。

お礼

確かに精度があれば細かくは必要ないですよね。
でも人間って始めと終わりを知りたがりますね。。。

回答No.4

taropoo

永遠に続くからπは正確じゃないと言うのは違うんじゃないでしょうか。
例えば
0.999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999....
と永遠に続く数字はあなたは正確じゃないと思われますか？でもこれって1なんですよ。

じゃ、
0.123123123123...
はどうですか？正確じゃないですか？でもこれも123/999という分数です。

分数の形で表す事の出きる数を有理数と呼ぶことはご存知ですか？
あなたの感覚だと有理数以外、つまり無理数はすべて正確でないことになりますよね。
でもそれは「小数点表示で表した場合に有限個の桁数で終わらない」というだけであって
正確じゃないわけじゃないんです。決まってないわけじゃなくて人間が途中までしか知らないだけなんです。

πのほかにも自然対数の底
e=1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ...
　=2.71828182...
なんてのも不規則に永遠に数字が続きますが、れっきとした実数であり、曖昧さの無いただ１点の数です。

ご納得頂けます？

お礼

ん～　0.999999・・・・・は1なんですか？
確かに分数の形で存在するものがあるのはわかります。
でも奥が深い・・・

回答No.3

Yanchaboy

可能かどうか？という点では可能ですよ。
ただし計算上は、じゃ無くて理論上は、ですけど。

発想を変えて、面積を求める時に面積だけに着目しないで、体積を考えるんです。
半径ｒで高さｈの円柱を用意し、その体積を求めます。
＃重さと質量でも出るし、水に沈めてでもいいし....。

で、その体積を高さｈで割れば面積がでます。

まぁ現実問題として「その円柱の制度より円周率の方が精度がいいんじゃないか？」とか「体積を正確に測るときの誤差の方がでかいんじゃないか？」という問題は残りますけどね。
あくまで「理論的には」ということです。

以上、思いっきり理系の発想でした。

お礼

やっぱり可能ですね。なるほど体積も使っても出来ますね。
理系の発想参考になります。

回答No.2

hero1000

もともと、円を多角形に分割して・・・という方法で近似していって生まれた
のが円周率（π）です。計算する際に誤差が出てしまうのは仕方ないことだと
しか言えませんねぇ。

回答No.1

kohji

それをしようとして出てくるものがπなんですよ。

円を無限に小さい扇形に分けて、それを上下交互に合わせていくと、縦が半径、横が半径（直径／２）×πの長方形ができるんです。そんなわけで、円の面積ができるんです。

参考URL：

http://devi123.hoops.ne.jp/sano/en1.htm

お礼

楽しいアニメーションの紹介ありがとう。
とてもわかりやすかったです。