大家しています。
> 立ち退く必要はあるのでしょうか？
相手が訴訟に踏み切るにはそれなりの決意と目処があるはずです。質問者様との間で『信頼関係の崩壊』の証拠がそろったと言うことです。 この『借主優位』の法の下でも“勝てる目処”が立ったということでしょう。大家も管理会社も“勝てる目処”が立つまでは訴訟になんて踏み切りません。
● いくら請求しても反応が無かった。（電話なら録音されている可能性もあります。）
● 内容証明或いは管理会社からの請求の郵便を受取り拒否、または留守と言うことで受取らなかった。（返ってきた郵便物が原告の手元にある。）
● 電話に出なかった。（請求の電話は日時が記録されています。）
● 保証人に請求された際、保証人には素直に保証する（代って支払う）意思がないことが確認された。（録音されていることもあります。）
● ○月○日までに支払うという約束を守らなかった。（書面があればますます原告有利です）
● これまでに何らかのトラブルが質問者様と管理会社か大家との間であった。（このトラブルの記録も多分原告は持っています。）
この中のいくつかにお心当たりがあれば、それも『信頼関係の崩壊』の証拠として訴状には並べられているはずです。
管理会社を訴訟まで追い込んでしまっては、管理会社のほうも大家の手前、明渡しを受けなければならないでしょう。
今更『今月末には全額支払い予定です。』と言われても、管理会社も、後ろにいる大家も、信じないです。訴訟に勝てば、明渡しと滞納分の両方取れるのです。
滞納分や裁判費用（大抵訴状には『裁判費用は被告負担』となっていると思います』も負担し明渡すのですから、質問者様にとっては最悪の結果でしょうが、『借主優位』の法制の上で滞納して居座っていたのですから仕方の無いことと思います。
私も上記のような証拠を全部揃えて『明渡し訴訟』をしましたが、実際、訴状を書くのも大変で、その後は一切の妥協はしませんでした。ここまで行くと相手も“意地”なんです。
補足
非常に参考になります。ありがとうございました。 いくつか補足します。 家賃の滞納は、前家賃なのですがほぼ当月家賃で支払っていた。 督促の電話はとくになし。 督促状も、通常の振込用紙のみで 裁判の事前通告等もなく、いきなり訴状が届きました。 このような状況でも立ち退かなければいけないでしょうか？