格子状の道路を進む問題 確率

質問

座標平面上に格子状の道路がある。（0≦x≦3、0≦y≦3）原点から出発し、サイコロを繰り返し振り、次の規則にしたがって進むものとする。１の目が出たらｘ方向に２、２の目が出たらｘ方向に１、３の目が出たらｙ方向に１進み、その他の場合はそのまま動かない。ただし、右端で１または２の目が出たとき、あるいは上端で３の目が出たとき動かない。また、右端の1区画前で１の目が出たときは右端まで進んで止まる。
ｎを8以上の自然数とする。原点から出発し、サイコロをｎ回を振るとき、ちょうど６回目に、（２、２）以外の地点から進んで、（２，２）に止まり、ｎ回目までに（３，３）に到達する確率を求めよ。

この問題に取り組んでいるのですが、
前半の「ちょうど6回目に（2,2）」ということは5回目に(0,2)(1,2)(2,1)にいて（2,2）に到達するようなサイコロの目が出ればいいということでしょうか？
例えば５回目に(0,2)にいる確率というのは5C2(1/6)^2(5/6)^3と計算してよいのでしょうか？
それと後半のｎ回目「まで」というのは8以上のすべてのｎの場合を考える必要があるのでしょうか？
回答いただければ幸いです。よろしくお願いいたします

回答No.1

naokomann · ベストアンサー

●前半の「ちょうど6回目に（2,2）」ということは5回目に(0,2)(1,2)(2,1)にいて（2,2）に到達するようなサイコロの目が出ればいいということでしょうか？

○これは合っていると思います。

●例えば５回目に(0,2)にいる確率というのは5C2(1/6)^2(5/6)^3と計算してよいのでしょうか？

○確かに
　5回のうち2回は⇒３が出てｙ方向に１進んでいることになりますが、
　５回のうち他3回で⇒例えば１か２の目が出てしまったら、ｘ方向にも進んでいるはずなので、ｘ座標は０にはなりませんね。
○なので、5/6はおかしいということになります。

●それと後半のｎ回目「まで」というのは8以上のすべてのｎの場合を考える必要があるのでしょうか？

○そうですね。でも、考え方は前の質問の部分の式を見ればできているようなので、大丈夫かと思います。
ヒントとしては、６回に（２，２）の座標にいて、そこからｎ回目までにｘ座標、ｙ座標ともに１しか動いていないということですね。

回答No.3

age_momo

#2です。『ちょうど６回目』でしたね。
すみません。なら、質問者さんの考え方のほうがいいですね。
5C2(1/6)^2(5/6)^3
は5/6ではないですけど。。。

回答No.2

age_momo

>前半の「ちょうど6回目に（2,2）」ということは5回目に(0,2)(1,2)(2,1)にいて（2,2）に到達するようなサイコロの目が出ればいいということでしょうか？

それでもいいですが、直接考えてもいいと思いますよ。
(2,2)にいるということは6回のうち
1)3が2回と2が2回出る。
2)3が2回と1が1回出る。
どちらもそれ以外の時には4,5,6のいずれかが出る必要があります。

それ以降は3が最低1回、1もしくは2も最低1回出る必要が
あります。これは直接計算するのはしんどいので、逆に考えて
3)(n-6)回振っても4,5,6ばかりで(2,2)から動かなかった。
4)(n-6)回振っても3が一回も出なかった。
5)(n-6)回振って1もしくは2が出なかった。
を除けば(3,3)に到達しています。ということで
{1-(5/6)^(n-6)-(4/6)^(n-6)+(3/6)^(n-6)}
を上で求めた確率にかければいいことになります。
この式に関しては集合で考えてくださいね。