3行３列行列のｎ乗について。

質問

同じ質問がほかにもあったらごめんなさい。
一応調べても出てこなかったので、質問してみようと思いました。
ご解答のほどよろしくおねがいします。

行列、
１、１、０、
０、２、０、
１、１、１、

のｎ乗を求めたいと思っていますが、
高校で習った知識をフル活用して固有値固有ベクトルでといてみようと思ったのですがうまくいきませんでした。。

できれば、
(1)固有値固有ベクトルではどうしていけないのか。
(2)どうやってとけばいいのか。

の２つを解答してもらえるとありがたいです。
よろしくおねがいします。

回答No.4

gef00675

また間違えた。＃３
＞　ＡＵ＝ＭＵ
ではなくて、
ＡＵ＝ＵＭ
だった。これをみたすような３×３行列Ｕを（これが一般固有ベクトルのセットになる）計算しておいてから、
Ａ^n＝Ｕ Ｍ^n Ｕ^(^1)
を求める。逆行列Ｕ^(-1)でやってもよいし、
Ａ^n Ｕ＝Ｕ Ｍ^n
を３組の３元連立方程式として解いてもよい。

回答No.3

gef00675

わかったか、わからんか、反応してよ。
おたく、大学生？高校生？
大学生にしては低レベルの質問だし、
高校生でこんな問題をやらされるとは考えにくいし。
それによって、こちらの答え方を変えるから。

以下は、高校生向き助言。
(☆）
α、０、０
０、β、０
０、０、γ
の形に対角化しようとして失敗したんだね。固有値に重解がある場合には、いつでも上の形にできるとはかぎらなくて、（できる場合もあるけど）
(☆☆）
Ｍ＝
α、１、０
０、α、０
０、０、β
にしかもっていけない場合があって、質問の行列Ａはこのタイプなのです。
この形のＭ^nは計算できるでしょ？
あとは、３×３行列Ｕを
ＡＵ＝ＭＵ
なるＵを腕力で計算する。そうすれば、
Ａ^n＝Ｕ^(-1) Ｍ^n Ｕ
で、解が求められる。３×３行列の逆行列Ｕ^(-1)は高校では習わんはずなので、そういう場合は、
ＵＡ^n＝Ｍ^n Ｕ
としてみて、３元連立方程式を３回解いてＡ^nを求めることになる。
余談だが、３×３行列の中には、ほかにも
(☆☆☆）
α、１、０
０、α、１
０、０、α
の形にしかもっていけないものもある。
つまり、３×３行列には、(☆）と、(☆☆）と、(☆☆☆）のタイプのものがある。固有値に重解がある場合、この３つのどれになっているかの見極めが難しいというか、めんどくさいのです。まだ３×３ぐらいなら何とかなるけど、次数が高くなると、絶望的にややこしい。だから、回答＃１では射影行列の計算でやってみたのでした。

ほかにも、ケーリー・ハミルトンの定理を使って、Ａ^nの次数を下げていくという手もあるけど、３×３行列の行列式を習わないとできないしね。

以下は、大学生向け助言。
せめて線形代数の固有値問題を勉強してから、出直してきなさい。もし、本を何度読んでもわからないのなら、あなたはこの方面に向いていない可能性があります。別の道を歩むほうが幸せになれるでしょう。

回答No.2

gef00675

ああ、やっぱり間違えてたか。
A^n=S^n + n S^(n-1) N
やね。

お礼

返信が遅れてしまいすみません。
パソコンがウイルスにやられてしまってみれませんでした。。。

この問題は、本当は数列an,bn,cnの３つの漸化式が与えられていて、それを求める物となっています。
当初はan,bnのみでやってからcnを求めるやり方での方針をたてていて、先生の解法もそれだったのですが、3×３行列でもできるのでは…と思ってやってみたらドツボにはまってしまった。。。という過程です。

何度もありがとうございます。
がんばって理解してみます！

回答No.1

gef00675

高校の知識では無理でしょう。

(1)固有値固有ベクトルではどうしていけないのか。
その行列をＡとかくことにすると、Ａの固有方程式は
(x-2)(x-1)^2=0
で、Ａの固有値は1と2になるのですが、重解のx=1が曲者です。x=1に対応する固有ベクトルで独立なものが２個あればよかったのですが、このＡに関しては、x=1に対応する固有ベクトルが１本しかとれない。そのため、Ａが対角化できないのです。

(2)どうやってとけばいいのか。
一般固有ベクトルというものを考えれば、解けます。しかし、最初から話し出すと結構長くなりますし、簡単に説明する自信がありません。詳しくは線形代数の教科書でも読んでください。

とりあえず、射影行列を使って解を表示しておきますので、答えあわせにでも使ってください。計算してみると、
行列P1＝
1, -1, 0
0, 0, 0
0, -2, 1
行列P2＝
0, 1, 0
0, 1, 0
0, 2, 0
が、Ａの一般固有空間への射影行列になっていました。射影の性質から、P1^2=P1, P2^2=P2, P1P2=0, P1+P2=単位行列　が成り立ちます。
Ａの固有値をλ1, λ2とかくと、（λ1=1, λ2=2）
Ａ= λ1 P1 + λ2 P2 + N
と分解できることが知られています。ここで、Nを計算してみると
N=
0, 0, 0
0, 0, 0
1, -1, 0
で、零化指数2のべきゼロ行列です。つまりN^2=0。
一般に行列の積は、順序の変更は不可ですが、ところがどっこい、このP1, P2, Nは可換です！　ということは、普通の多項式のように積の展開ができるということです。
S=λ1 P1 + λ2 P2
とおきましょう。すると、射影行列の性質から
S^n=λ1^n P1 + λ2^n P2
です。A=S+Nでしたから、A^nを展開すれば、
A^n=S^n + n S N + (Nの2乗以上の項）
ですが、N^2=0であるため、Nの2乗以上の項はすべて０になって、
A^n=S^n + n S N
＝λ1^n P1 + λ2^n P2 + n S N
となります。あとは、この式に数値を入れてください。

お礼

返信が遅れてしまい、すみません。。

なんとなくですが、分かりました。
高校生なので、これを印刷して参考書などをみつつ理解したいと思います。
ありがとうございます。