重積分

質問

∫【0→1】｛∫【0→y】1/√（x^2+y^2）dx｝dy
の値は
-1+(1/2)*log2
で合っているでしょうか？自信がないので質問します。中の積分
∫【0→y】1/√（x^2+y^2）dxの値はlog（（√2）y）となりました。

回答No.3

Mr_Holland · ベストアンサー

ｘによる積分は、ｘ＝ｙtanθ　と変数変換を行うと計算しやすいと思います。

　ｘ＝ｙtanθ　∴dx＝ｙdθ/(cosθ)^2
　ｘ＝０のとき　θ＝０
　ｘ＝ｙのとき　θ＝π/4

　∫【0→1】｛∫【0→y】1/√（x^2+y^2）dx｝dy
＝∫【0→1】dy　∫【0→π/4】dθ/(cosθ)^2/√{1+(tanθ)^2}
＝∫【0→1】dy　∫【0→π/4】dθ/cosθ
＝１　×　log(√2+1)
＝log(√2+1)

回答No.2

arrysthmia

そのまま反復積分しても良いが、
極座標へ変数変換すると楽しい。

(x, y) = (r cosθ, r sinθ) で置換すると、
面素 dx dy は r dr dθ に、
積分域 0≦y≦1, 0≦x≦y は
π/4≦θ≦π/2, 0≦r≦1/sinθ に変換される。
よって、問題の積分は =∫[π/4≦θ≦π/2] dθ/sinθ。
更に、c = cosθ で置換すれば、
=∫[0≦c≦1/√2] dc/(1-c~2)。
これを、部分分数分解して積分すれば、結局
(1/2) log｛ (1+c)/(1-c) ｝に c = 1/√2 を
代入したものが答えと判る。

…楽しんで戴けましたか？

回答No.1

info22

> ∫【0→y】1/√（x^2+y^2）dxの値はlog（（√2）y）となりました。
間違いかと思います。

y>0という条件の下で
∫【0→y】1/√（x^2+y^2）dx=ln(1+√2)=arcsinh(1)
となります。

>∫【0→1】｛∫【0→y】1/√（x^2+y^2）dx｝dy=-1+(1/2)*log2
間違いかと思います。

∫【0→1】∫【0→y】1/√（x^2+y^2）dx｝dy=ln(1+√2)=arcsinh(1)
となります。

お礼

どうもありがとうございました。