時定数の求め方

質問

R*{dg(t)/dt}+q(t)/C=E
が
q(t)=CE(1-e^-(t/RC))
となる過程を教えてください
お願いします
必死です
http://nkiso.u-tokai.ac.jp/phys/exp/titles/timecont.htm
これの（１）からのへんけいです
お願いします

回答No.5

noname#101199

#3です。
お礼欄の質問を補足します。

といいたいんですが、すでにNo.4さんが回答してくださってますね^^;
本来はNo.4さんのように解きます。変数分離という方法で解きます。ここで自然対数をとることで、expの項が導き出されます。
また、同次解をもとめてから特殊解をもとめて、結合するという方法もよくとられます。
微分方程式の解き方はいろいろあるので、詳しくは微分方程式の本を読んでください。ラプラス変換を使っても解けるはずです。

ですが、この１階微分方程式は簡単で有名なものなので、正直このレベルでいちいち解くのはメンドくさいのです。
なので私は「１階微分で元の関数に戻るんだからexpだね」と考えてパッと出してしまいます。

回答No.4

Akira_Oji

R*{dq(t)/dt}+q(t)/C=E ...(1)

与えられた式を変形すると
dq/dt=-(1/RC)*(q-CE)

変数を分離して
dq/(q-CE)=-(1/RC)*dt

両辺を積分して
ln(q-CE)={-(1/RC)t}+B

Bは積分定数、B=lnB'とすると都合がいい。
ln(q-CE)-lnB'={-(1/RC)t}

対数の差は比の対数になるので
ln｛(q-CE)/B'}={-(1/RC)t}

対数の定義より
(q-CE)/B'＝exp{-(1/RC)t}

変形して、
q-CE=B'*exp{-(1/RC)t}

q=CE＋B'*exp{-(1/RC)t} ...(2)

t=0のとき q=0になるとすれば、（問題には与えられていないが）
0=CE＋B'

これより
B'=-CE

これを（２）に代入して、
q=CE-CE*exp{-(1/RC)t}

q=CE[1-exp{-(1/RC)t}]
となります。

回答No.3

noname#101199

数学的には同次解と特殊解を別々に解くのが定石だと思います。
ですが、この程度の微分方程式なら過渡解と定常解にわけるのも面倒くさいので一度に解きます。

与えられた式を変形すると
dq/dt=-(1/RC)*(q-CE)・・・・（１）
となりますよね。
ここで、qの頭に何もついていないことに注目してください。（qにゴミ（定数係数）をつけないように変形しました）。
定数の係数みたいなゴミは邪魔くさいので、qと分離しておきます。

(1)を更に変形すると
d(q-CE)/dt=-(1/RC)*(q-CE)・・・・(2)
となります。
（CEは定数のため微分してもゼロ。なので左辺に勝手に付け加えました。微分には線型性があるので、この形に変形しても問題ありませんよね。）

ここまでくれば求められますよね？

一応、微分方程式の解き方をご存じないかもしれないので、感覚的に解いておきます。
(2)をq-CEに着目してみてください。
すると、「q-CEについて１回微分すると（左辺）、元の関数q-CEに戻る」という風に見えませんか？
１回微分しても結局同じ関数に戻る関数です。
こんな関数はもちろん、expですよね。
ここで、１回微分するとゴミ(-1/RC)が出てくることに着目してやると、
どうやらこの関数はA*exp(-t/RC)とおけそうじゃありませんか？
（A*exp(-t/RC)は１回微分すると、ゴミ(-1/RC)が出てくるけど、関数自体は変わらないでしょ？）

なので、
q(t)-CE=A*exp(-t/RC)・・・・（３）と書けます。

これに初期条件を代入して、係数Aを定めてやりましょう。
質問者さんのリンク先には初期条件は与えられていませんが、ふつうRC回路は、t=0の時、q=0です。これを(3)に代入すると
0-CE=Aとなる。つまりA=-CE。
これを(3)に代入して
q(t)-CE=-CE*exp(-t/RC)
ゆえに
q(t)=CE(1-exp(-t/RC))
となります。

お礼

ありがとうございます
ひとつ質問なんですが
exp^(-t/RC)は予測をつけて出したんですか？？
もう少しお願いします
まだ微分方程式は習っていません

回答No.2

sandaer

No1です＾＾；

7行目についてですが・・・dg(t)/dt→dq(t)/dtに訂正です。

回答No.1

sandaer

これは微分方程式です。
質問文の上の式を(1)、その次の式を(2)としますね。

まずは(1)式の左辺が、＝0となる場合について考えます。
すると、その式の解は、
q(t)＝A*exp(－t/RC)　(Aは任意定数)
となります。

これを、(1)式のdg(t)/dtにのみ代入します。
それでq(t)について解けば、
q(t)=CE(1-Aexp(－t/RC))
が得られます。

ここで、q(0)=0ならA=1なので(2)式が得られます。

これが大まかな流れなので、自分で計算してみてくださいね＾＾