ベクトル空間

質問

ベクトル空間の問題なのですが，
f:V→Vを線型変換とするとき，Imf^n=Imf^(n+1)を満たすn(≧1)が存在することを示せ。またそのnについてKerf^n=Kerf^(n+1)が成り立つことを示せ。(f^nはfのn回合成変換)
という問題なのですが，全然解けなくて…。
どなたか解説お願いします。

回答No.2

kabaokaba · ベストアンサー

たぶん，条件が落ちてる．
無限次元ベクトル空間だったらNo.1さんのように
反例ができちゃう．
きっと，「多項式の積分」（積分定数は固定）も反例になる．
たぶん「有限次元」であることは
教科書かなり，講義なりの大前提なんだと思う．

で証明なんだけども，有限次元だと仮定すると
これはそんなに厄介ではない．
以下に証明してみるけども，
実は一箇所ほど論証をごまかしてるところがある．
掲示板で書くと記号が錯綜するのであえて端折ってるけど
本当はきちんと論証しないといけないんだが，
それくらいは自力で．

線型写像f:V->Vに対して
dim V = dim Ker(f)+dim Im(f)
だから，
dim V >= dim Im(f)
f^2:Im(f)->Im(f^2)に対しても同様で
dim Im(f) >= dim Im(f^2)
以下同様にして，
dim V >= dim Im(f) >= dim Im(f^2) >= ・・・ >= 0
と「０以上の整数の広義単調減少列」ができるので，
かならず，０以上の整数nが存在して，
dim V >= dim Im(f) >= dim Im(f^2)
>= ・・・
>= dim Im(f^n) = dim Im(f^(n+1)) = dim Im(f^(n+2)) ・・・
Im(f^k) (k=1,2,・・・)は
Im(f^k)⊃Im(f^(k+1))なので
Im(f^n) = Im(f^(n+1))

このnに対して，f^n:V->Vを考えれば
dim V = dim Ker(f^n) + dim Im(f^(n))
同様にして
dim V = dim Ker(f^(n+1)) + dim Im(f^(n+1))
両辺をひくことで
dim Im(f^n) = dim Im(f^(n+1))
より
dim Ker(f^n) = dim Ker(f^(n+1))
そして，Ker(f^k) (k=1,2,・・・)は
Ker(f^k)⊃Ker(f^(k+1))なので
Ker(f^n) = Ker(f^(n+1))

終わり

お礼

返信遅くなりました。
範囲が有次元実ベクトル空間で，その条件が抜けていました。
申し訳ありません。
無事解決しました。ありがとうございます。

回答No.1

koko_u_u

例えば V として実数体 R 上の多項式全体 R[x] を考え、
f : R[x] → R[x] ( a(x) -> x * a(x) )
とすると、f は R ベクトル空間 R[x] 上の線形写像となる。

明らかに Im(f^n) = { a(x) | deg(a) ≧ n } 、Im(f^n) ≠ Im(f^(n+1))

補足

有次元実ベクトル空間という条件が抜けていました。。。
申し訳ありません。