空間図形の概形

質問

(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2=1　で定義される空間図形の外形を描け。

という問題なんですが、正像法と逆像法など様々試しましたが文字の消去などか上手くいかず解けません。

どなたかアドバイス、ご回答していただければ幸いです。

回答No.2

Tacosan · ベストアンサー

すみません, #1 は大嘘です. 2乗の係数が全て正になるので, そこだけ見て書いちまいました.
で終わるとバカなのでまともな方法をいきます:
まず「どんな図形か」がわからないとお話にならないので, 「2次形式の標準形」を使います. これは, 2次の項 (今の場合は全てですが) を行列やベクトルを使って 2次形式として書き, その行列の固有値・固有ベクトルを使って直交化することで
ax'^2 + by'^2 + cz'^2
の形に変形しよう, という方法です. 「2変数の積」の項が消えることにより, 係数の符号を見て「どのような図形か」がだいたいわかるようになります.
それがわかれば通る点を適当にみつくろって描くことができるはずです.
なお, この問題についてはもっと直感的に想像することができます.
それは, この式が x-y, y-z, z-x を使って書かれていることで, この結果として「点(x, y, z) が曲面上にあれば (x+t, y+t, z+t) も曲面上にある」ということが言えます. つまり, この曲面は直線 x=y=z を軸に持ちます (←これを見抜けば「球」なんてバカなことを書くやつはいない).
あとは, この軸に平行でない面上での形を描けばだいたいわかるはずです. 今の場合は xy平面上 (つまり z=0) が簡単かな? z = 0 とすると 2x^2 - 2xy + 2y^2 = 1 だから... 楕円だっけ?
この楕円を x=y=z 方向に「にゅ～ん」と動かすと目的の図形になります.
実際には円柱になるのかな?

お礼

おー　めっちゃわかりやすいです。
ありがとうございます。納得しました！

回答No.1

Tacosan

原点を中心とする半径 1/√2 の球?

お礼

ご回答ありがとうございます。
できれば大雑把でもいいので導き方なども教えてもらえないでしょうか。