絶対の証明問題

質問

(1)|x＋y|≦|x|＋|y|を示せ
(2)| |x|-|y| | ≦|x-y|を示せ

(1)-|x|≦x≦|x|
-|y|≦y≦|y|

この二つを足すと
-(|x|＋|y|)≦x＋y≦|x|＋|y|……a
よって(1)になる

aのところからいきなり証明終と書いてありますがなぜなのかわかりません。

(2)
|x|=|x-y＋y|
≦|x-y|＋|y| (∵(1)）
⇔|x|-|y|≦|x-y|
また
　|y|-|x|≦|y-x|

で|x-y|=|y-x|より

|x-y|=|y-x|
　≧|y|-|x|
=-(|x|-|y|)
∴|x-y|≧| |x|-|y| | 　　　……b

ここも最後のbの部分でいきなり結論が出ているようでわかりません。

他に色々方法はありますでしょうが、この方法での疑問部位をどなたかご説明よろしくお願いします。

回答No.1

egarashi · ベストアンサー

(1)aは絶対値の性質そのものですよね。
-5≦x≦5⇔|x|≦5
↑これがa式と同じ形ですね。

(2)3行目の式:|x|-|y|≦|x-y|
b式の上に書いている式の両辺に-1をかけたもの:|x|-|y|≧-|x-y|
これらを合わせると、
-|x-y|≦|x|-|y|≦|x-y|
ここからの考え方は、(1)と同じです。

お礼

ありがとうございます。よくわかりました。