「987654321の987654321乗」について

質問

中学生の子供が塾で「987654321の987654321乗の各ケタの和をaとして、さらにaの各ケタの和をb、bの各ケタの和をcとするとき、cの値を求めよ」という数学の問題を出されて困っています。まさか対数表を使うような問題でもないと思うのですが、どなたか解法を教えてください。私自身は(a+b)n＝an＋nC1anbn-1＋・・・＋bnくらいならなんとかわかります。よろしくお願いします。

回答No.1

kobold · ベストアンサー

基礎知識として、各桁の和が9の倍数ならば元の数も9の倍数です
実際に計算するのはあまりにも大変なので、
おそらくこの性質を使うのだろうと予測を立てます
つまり3回、各桁の和を取れば十分小さな値になるということです

987654321は9で割り切れます
x=987654321の987654321乗とすると、
xの桁数はlogx+1=987654321*log987654321+1<=987654321*9+1
ですからaは(987654321*9+1)*9=80,000,000,010以下の9の倍数です
同様にaの桁数はloga+1<=11ですからbは11*9以下の9の倍数です
よってcは18か9ですが、
cが18となるのはbが99の時だけでそれはa=99,999,999,999の時ですが、
それは起こりえないので、c=9です

お礼

大変綺麗な解法、よくわかりました。子供には「教えて！goo」で教えていただいた、と言って教えます。本当にありがとうございました。