２次方程式

質問

a,bを整数の定数とする。xの２次方程式(a+4)x^2-2ax+a+b=0が重解をもつa,bの組は全部でいくつありますか？
また、そのうちbの最少値の場合の重解をαとし、bの最大値の場合の重解をβとすると、α-βはいくつになりますか？

回答No.1

ichiro-hot

●　質問ばかりですが、ためになってますか?
●　重解を持つ→判別式D=０
D/4＝a^2－(a+4)・（a+b)＝－｛ab＋4a＋4b｝
　＝-｛（a+4）（b+4）－16｝＝０
これから，
　（a+4）（b+4）＝16
a,bは整数であるから，（a+4），（b+4）も整数。
したがって，（a+4)，（b+4)の可能な組み合わせは、この順に
　（16,1）,（8,2）,（4,4）,（2，8）,（1,16）,
（-16,-1）,（-8,-2）,（-4,-4）,（-2，-8）,（-1,-16）
の１０通りある。

　以上からa≠－4だから、予式は必ず2次式であり、かつD＝０だから、重根を持つ。

ｂ_min；ｂの最小値,そのときのaの値をa_minとすると,
　ｂ_min＋4＝-16よりb_min＝-20,
　a_min+4＝-1より,a_min＝-5
　このときの重根はαだから,
　α＝2a/｛2（a+4)｝＝a/（a+4)＝-5/（-1)＝５
ｂ_max；ｂの最大値,そのときのaの値をa_maxとすると,
　ｂ_max＋4＝16よりb_max＝12,
　a_max+4＝１より,a_max＝-3
　このときの重根はβだから,同様に
　β＝a/（a+4)＝-3/（1)＝-3
したがって,α－β＝5-（-3）＝８

答え：１０通り,α－β＝８