不定積分

質問

f(x)=2x/x^2-3x+2　の不定積分を求めるのですが、まず分母が(x-2)(x-1)となり（ここまではわかりますが）、その次に2x/(x-2)(x-1)=
Ｘ/(x-2)+Y/(x-1)と展開されています。どうしてこうなるのでしょうか？
さらに、2x=X(x-1)+Y(x-2)と展開されているのですが、ここでなぜ、
2xがX(x-1)+Y(x-2)とイコールになるのかわかりません。
単純な質問ですみません。教えてください。

回答No.1

terb1732 · ベストアンサー

f(x)=2x/(x^2-3x+2)として分子、分母がきちんと分かるように書いたほうが良いです。
2x/{(x-1)(x-2)}=X/(x-2)+Y/(x-1)
というように変形することを部分分数分解といいます。
2x/{(x-1)(x-2)}の状態では直接積分することは困難ですが、
X/(x-2)+Y/(x-1)の状態であれば、積分すると、
Xlog(x-2)+Ylog(x-1)となることがすぐ分かりますよね？(logの底は自然対数e)
ここでXとYを求めなければいけないのですが、
2x/{(x-1)(x-2)}=X/(x-2)+Y/(x-1)
のように変形したのですから、両辺に(x-1)(x-2)を乗じれば、
2x=X(x-1)+Y(x-2)となりますね。
あとは恒等式でXとYを求めれば答えが導けます。

お礼

ありがとうございます。とても助かりました。

回答No.3

arrysthmia

作業の手順だけ覚えても空しいから、

＞ どうしてこうなるのでしょうか？

を説明しているサイトを紹介しておきましょうか。

http://members.jcom.home.ne.jp/dslender/math/bubunbun.pdf

お礼

ありがとうございます。最近義務感いっぱいで勉強しています。
どうしてこんなことするのか？といった疑問に答えていただいた気がします。

回答No.2

info22

部分分数分解については以下のURLで例題をこなして勉強すると良いでしょう。ある程度の例題をこなすと理解できるようになると思います。

http://next1.cc.it-hiroshima.ac.jp/MULTIMEDIA/calcans/node91.html
http://plaza.rakuten.co.jp/ultraprep/diary/200612210001/

http://next1.cc.it-hiroshima.ac.jp/MULTIMEDIA/calcmulti/node46.html

お礼

ありがとうございます。また、URLをご紹介いただき勉強になりました。