フラクタル比？

質問

地理か数学かカテに迷ったのですが。

例えば地図で海岸線の長さを物差しで測る場合。
２０万分の１の地図で測った延長よりも、５万分の１の地図で測った
延長のほうが、凹凸が細かい分、何％か延長が長くなる傾向にあります。
この割合・比率のような物をなんと呼称するのでしょうか？

回答No.3

jamf0421

Fractal次元の話と思います。簡単に何割増しとなる性質のものではありません。
地図の倍率そのものより、物差しの長さが本質なのです。たとえば北海道の周囲をはかるとき50 kmの物差しの両端が海岸線につくようにして最短で一周するとします。n回当てる必要があれば、海岸の総延長の長さLは
L=50(km)*n...(1)
です。使う物差しを10 kmに変更したとします。全くの直線ならば、物差しが1/5になりnは5nになるはずでLに変化はありません。しかし海岸線の場合には物差しを短くすると細かい出入りが反映されてくるのでnが5nになりません。一般にものさしの長さをrとしたときに
n∝r^(-D)...(2)
になります。Dをフラクタル次元と呼びます。直線ならばD=1でn∝1/rとなり、物差しを半分にすれば、あてる回数が倍になりLに変化はありません。海岸線の場合には物差しを短くすれば細かい出入りが反映されるのでDは１とならず、海岸線の長さは
L∝r*r^(-D)=r^(1-D)...(3)
になります。海岸線のDは１より大きいので、当てる物差しを短くするとLが大きくなっていきます。

お礼

縮尺を加味したフラクタル次元による比率、とでも言うより他になさそうです。
ありがとうございました。

回答No.2

phyonco

大分以前に読んだことのあるマンデルブロのきれいな本の最初の方には、確か、その長さLを分解能というか最少長さeの関数としてL(e)とした時に、
L(e)/L(e') = [e/e']^d
が言えるときに、dをフラクタル次元と言う、と書いてあったような。#1さんが言いたかったのはそういうことなんじゃないんだろうか。で、海岸線のでこぼこ具合は、正確な値は覚えてないが、d~1.3とかそんなものだったような気がする。

お礼

ありがとうございます

回答No.1

owata-www

フラクタル次元かと

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%83%A9%E3%82%AF%E3%82%BF%E3%83%AB
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%83%A9%E3%82%AF%E3%82%BF%E3%83%AB%E5%B9%BE%E4%BD%95
http://mcm-www.jwu.ac.jp/~physm/buturi01/fra01/fractal.html

お礼

ありがようございます。
フラクタル次元は、自己相似の度合いを表した物であり、少し違う気がします。
特に極限まで理論値を求める訳でもありませんので・・・
コッホ曲線で言えば、２段階目の延長と３段階目の延長の比率のような感じです。