反応速度論の問題についての質問

質問

A + B→C

が"一次"反応である場合には、

v=k[A][B] = d[C]/dt=k[A][B]
であり、

初濃度[A]<[B]の時は

t=(1/k)×ln2

で合っているでしょうか？

もし、違うならば計算過程とともに教えてもらえないでしょうか？

一番下のが良く分かりませんが、自分なりに解いてみました。

回答No.1

noname#160321 · ベストアンサー

>が"一次"反応である場合には、
そりゃ無理です、二次反応だもの。「擬一次」というなら下の方の奴を使いますが。
>初濃度[A]<[B]の時は
ちょっと違いますね。
初濃度「[A]<<[B]」の時、ですね。
この時、
v= d[C]/dt=k[A][B]=-d[A]/dt
Bの変化を無視して、
K=k[B]と置くと、
K[A]=-d[A]/dt
一時反応のときと同様な積分で、
[A]=[A]0e^(-Kt)
[A]/[A]0=e^(-Kt)
半減期は左辺が1/2
対数を取って符号を変えると、
ln2=Kt
t=(1/K)×ln2
t={1/(k[B]}×ln2

お礼

回答ありがとうございます。擬一次という事を指摘頂き助かりました。
Bを定数として解くやり方は全く知らなかったので、非常に参考になります！ありがとうございました。

回答No.2

jamf0421

No1さんのように初めからBを定数として計算してしまう事も可能ですが、反応式は普通に積分できる形にできますから、それから正攻法でやることも出来ます。
Aの初濃度（量）をA、Bの初濃度（量）をBとすればxだけ反応が進んだとき、AはA-x、BはB-x、Cはxの濃度（量）になります。
dx/dt=k(A-x)(B-x)...(1)
が解くべき微分方程式です。これを変数分離して書けば、
dx/{(A-x)(B-x)}=kdt...(2)
となります。左辺の分数は
1/{(A-x)(B-x)}=(1/(B-A))(1/(A-x))+(-1/(B-A))(1/(B-x))...(3)
と分解できます。
これを(2)に代入し積分すれば、
(-1/(B-A))ln(A-x)+(1/(B-A))ln(B-x)=kt+C...(4)
です。ここでCは積分定数です。t=0の時x=0とすれば、
C=(1/(B-A))ln(B/A)...(5)
を得ますので、これを(4)に代入し、整理すれば
(1/(B-A))ln{(B-x)A/(A-x)B}=kt...(6)
となり、これをxについて解けば
x=AB(P-1)/(BP-A)...(7)
となります。ここでP=exp(k(B-A)t)です。
もしAの半減期を求めるのでしたら、x=A/2を(7)に代入すれば容易に求められます。
P=exp(k(B-A)t)=2-A/B...(8)
これより両辺の対数をとれば、
k(B-A)t=ln(2-A/B)
即ち、
t=(1/k(B-A))ln(2-A/B)...(9)
となります。Bに対してAが無視できるくらい小さいならば(9)は
t=(1/kB)ln2
となり、No１さんの回答に一致します。

お礼

回答ありがとうございます。doc_sundayさんのやり方に補足を頂いた上に、非常に分かりやすい回答でした。両方の解き方を知っていれば、何かと応用が利きそうなので、覚えようと思います！ありがとうございます。