反応速度と微分方程式について

質問

a(mol/l)のH2O2 10mlにMnO2をいれ、
10秒ごとに発生したO2の体積を記録しました。

t秒後に反応したH2O2をx(mol/l)とすると、
dx/dt=k(a-x)⇔ln(a-x)/t=kで、
ln(a-x)/tがH2O2の反応速度定数となりますが、

H2O2が完全に分解したときのO2量をV0(ml)とし、
時刻tにおけるO2の発生量をVtとしたとき、
ln(V0-Vt)/tは何を表しているのでしょうか。

酸素の発生速度？と思ったのですが、
基本式と結び付けられません。

どうか解説をよろしくお願いします。

回答No.3

noname#57316

dx/(a-x)=kdt を解くと、x=a・{1-e^(-kt)}
とも表わせる式を得ます。

この函数は、aが飽和値であること、つまりtが増せばxが限りなく
aに近づくことを示しており、x=aを成立させるtは無限大です。
（xは限りなくaに近づきますが、決してaになることはありません）

お尋ねの、ln{(V0-Vt)/V0}/t として表わせるkは、その逆数、
(1/k)が反応物質の平均寿命に相当する意味を持っている
反応速度の定数です。
平均寿命（これをλとします）とは、
λ=∫(a-x)・tdt/∫(a-x)dt　（何れもtを0から∞まで積分）
で定義される量です。

そして、λは、どの時点においても、この時間間隔の間に、
その時点の反応物質の濃度を(1/e)倍にする時間間隔で
あることが示せます。

kは、逆数がそういった意味を持っている定数なのです。

なお、
>dx/dt=k(a-x)⇔ln(a-x)/t=k
とされていますが、正確には、
ln{(a-x)/a}/t=k　です。

回答No.2

c80s3xxx

最終的に知りたいのは k なわけでしょ?
もちろん x を求めて解析してもいいわけだけど，圧力だとかそういうのもわかってないと換算できない．しかし，圧力はわからなくても変化してなことさえ担保されるなら，k の算出はできるってことで．
ガスビュレットで発生体積を測ったと思うけど，もっといえば，体積の単位もどうでもいいので，太さが一定であることが担保されてるガラス管を使っていれば，水面の変化量をものさしで読んだ値そのままでも計算できるわけで．

回答No.1

c80s3xxx

ヒント．
x と Vt の関係は?

ln(V0-Vt)/t そのものの物理的意味はありません．にもかかわらず，これを使うといいことがあるのかというと，解析をする上ではいいことがあるわけです．

お礼

回答ありがとうございました。

t秒後に反応したH2O2がx(mol)なので、気体の状態方程式n=PV/RTより、
x=(PVt*2)/(RT*0.01)
a=(PV0*2)/(RT*0.01)

(a-x)=200P(V0-Vt)/RT
⇔ln(a-x)=ln{200P(V0-Vt)/RT}
⇔-kt+ln(a)=ln{200P(V0-Vt)/RT}
⇔-kt+ln{(200PV0/RT)}=ln{200P(V0-Vt)/RT}
⇔-kt+ln(200PV0/RT)=ln(200P/RT)+ln(V0-Vt)
⇔ln(V0-Vt)=-kt+ln{(200PV0/RT)/(200P/RT)}
⇔ln(V0-Vt)=-kt+ln(V0)

∴傾きが等しくなる、ということでしょうか。