ラグランジュの未定乗数法！！

質問

x^2+y^2+z^2=1 である時、
１、関数x-y-zの最大値
２、関数x-y-zの最小値
をラグランジュの未定乗数法で求めよ。

以上の回答、解説どなたかお分かりになりませんでしょうか？？？
よろしくおねがいいたします！！！

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

f(x,y,z)=x-y-z,g(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-1,
h(x,y,z)=f(x,y,z)+λg(z,y,z)
とおいて
ラグランジュの未定乗数法
を適用するだけです。
つまり、連立方程式
∂h/∂x=0,∂h/∂y=0,∂h/∂x=0,x^2+y^2+z^2=1
を解けば、f(x,y,z)の極値を与える(x,y,z)と未定乗数λが2組だけ求まります。
(1) (x,y,z)=(-1/√3,-1/√3,-1/√3),λ=-(√3)/2
(2) (x,y,z)=(1/√3,-1/√3,-1/√3),λ=(√3)/2

拘束条件x^2+y^2+z^2=1から、-1≦x≦1,-1≦y≦1,-1≦z≦1なので、
f(x,y,z)=x-y-zは上限と下限の範囲内の値域を有する。
したがって、上で求まる(x,y,z)から求まる極値の大きい方（極大値）が最大値、
小さい方（極小値）が最小値となります。

(1)の場合　f(-1/√3,-1/√3,-1/√3)=-√3 (極小値、最小値)
(2)の場合　f(1/√3,-1/√3,-1/√3)=√3 (極大値、最大値)

つまり　f(x,y,z)の値域は　-√3≦f(x,y,z)=x-y-z≦√3
となりますね。

途中計算はラグランジュの未定乗数法の手順に従って機械的に解いていけば良いのでご自分でやってみて下さい。

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/ラグランジュの未定乗数法