ラグランジュの未定乗数法

質問

いつも有り難く利用させていただいております。

今回は、ラグランジュの未定乗数法について少々お聞きしたいのですが、
http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/derivative/lagrange.htm
のラグランジュの未定乗数法の説明のところで、("A_x"でAをxで偏微分することを意味している)

制約条件をＧ（ ｘ ， ｙ ， ｚ ）＝０　、（ ａ ， ｂ ， ｃ ）で、極致を求めたい関数をＦ（ｘ ， ｙ ， ｚ ）としておくと、

　このとき、Ｇ（ ｘ ， ｙ ， ｚ ）＝０　から、ｚ が ｘ ， ｙ の関数になっているとすると、関数Ｆ は

ｘ ， ｙ の関数になるので、（ ａ ， ｂ ， ｃ ）において、

　　　　　　Ｆ_ｘ＋Ｆ_ｚ・ｚ_ｘ＝０　、　Ｆ_ｙ＋Ｆ_ｚ・ｚ_ｙ＝０

が成り立つ。

　ここで、ｚ_ｘ　、ｚ_ｙ　は、次の式により与えられる。

　　　　　　Ｇ_ｘ＋Ｇ_ｚ・ｚ_ｘ＝０　、　Ｇ_ｙ＋Ｇ_ｚ・ｚ_ｙ＝０

そこで、（ ａ ， ｂ ， ｃ ）における　－Ｆ_ｚ/Ｇ_ｚ　の値を、λ とおくと、　Ｆ_ｚ＋λＧ_ｚ＝０　が成り立ち、

さらに、Ｆ_ｘ＋λＧ_ｘ＝０　、　Ｆ_ｙ＋λＧ_ｙ＝０　が成り立つ。

　したがって、４つの式　Ｇ＝０　、Ｆ_ｘ＋λＧ_ｘ＝０　、Ｆ_ｙ＋λＧ_ｙ＝０　、Ｆ_ｚ＋λＧ_ｚ＝０　を解くことにより、極値を与える候補の点（ ａ ， ｂ ， ｃ ）が求められる。

と、記載されているのですが、
Ｇ（ ｘ ， ｙ ， ｚ ）＝０　から、ｚ が ｘ ， ｙ の関数になっているとすると、関数Ｆ はｘ ， ｙ の関数になるので、（ ａ ， ｂ ， ｃ ）において、
　　　　　　Ｆ_ｘ＋Ｆ_ｚ・ｚ_ｘ＝０　、　Ｆ_ｙ＋Ｆ_ｚ・ｚ_ｙ＝０
が成り立つ。
　ここで、ｚ_ｘ　、ｚ_ｙ　は、次の式により与えられる。
　　　　　　Ｇ_ｘ＋Ｇ_ｚ・ｚ_ｘ＝０　、　Ｇ_ｙ＋Ｇ_ｚ・ｚ_ｙ＝０

の部分の、
Ｆ_ｘ＋Ｆ_ｚ・ｚ_ｘ＝０　、　Ｆ_ｙ＋Ｆ_ｚ・ｚ_ｙ＝０
と、
Ｇ_ｘ＋Ｇ_ｚ・ｚ_ｘ＝０　、　Ｇ_ｙ＋Ｇ_ｚ・ｚ_ｙ＝０
の式はどのようにして出てきているのでしょうか？

回答No.2

hitokotonusi · ベストアンサー

そのサイトのノーテーションでは添え字が偏微分を意味しているようなので　z_x = ∂z/∂x。

zをx,yの関数z=z(x,y)とするとF(x,y,z)　=　F( x, y, z(x,y) )なのでFをx,yの二変数関数F(x,y)として偏微分すると

(∂F(x,y)/∂x)_y = (∂F(x,y,z)/∂x)_yz + (∂F(x,y,z)/∂z)_xy・(∂z/∂x)_y = 0

このサイトのノーテーションに従って

∂F/∂x　→　F_x, ∂F/∂z → F_z, ∂z/∂x →　z_x

と書き換えれば質問の式になります。

補足

この、
F_x+F_z・z_x=0
は、Fをx,yの関数と見なした場合、zもxの偏微分の対象となるから、
∂F(x,y,z(x,y))/∂x=∂F/∂x+(∂F/∂z)(∂z/∂x)
となるということだったんですね。

どうも有り難うございました。

回答No.1

f272

F_x+F_z・z_x=0　、　F_y+F_z・z_y=0
これらはFが(a,b,c)において、極値をとることから。
G_x+G_z・z_x=0　、　G_y+G_z・z_y=0
これらはGが(a,b,c)において、=0となることから。

補足

この、
F_x+F_z・z_x=0
は、Fをx,yの関数と見なした場合、zもxの偏微分の対象となるから、
∂F(x,y,z(x,y))/∂x=∂F/∂x+(∂F/∂z)(∂z/∂x)
となるということだったんですね。

どうも有り難うございました。