教えてください(>_<)

質問

xyz空間における曲面2xy＋z^2－1＝0と点(1,1,2)の距離の最小値をラグランジェの未定乗数法をもちいて求めるにはどうしたらよいのでしょうか？

g(x,y,z)＝2xy＋z^2－1＝0のもとで、
f(x,y,z)＝(x－1)(y－1)(z－2)の最小値を求めるということなのでしょうか？

回答No.5

info22_ · ベストアンサー

#2～#4です。

A#4の補足の質問について

>この連立方程式の解はどのようにして導かれたのでしょうか？重ね重ねすみません(>_<)

高々２次の連立方程式ですから簡単に解けますよ。
どこがわからないですか？

大学生なら連立方程式位解けないとダメですね。
詰まる前までの途中計算を補足に書いて詰まっている箇所を質問するようにして下さい。

途中まで書いておきます。
-------------------------------
∂(f-tg)/∂x=2(x-1)-2ty=0
∂(f-tg)/∂y=2(y-1)-2tx=0
∂(f-tg)/∂y=2(z-2)-2tz=0
g(x,y,z)=2xy+z^2 -1=0

書き直して
　x-1=ty　…(1)
　y-1=tx　…(2)
　z-2=tz　…(3)
　2xy+z^2=1…(4)
(1),(2)でt=1とおくと矛盾が起こるからt≠1
t≠1の下で(1),(2),(3)を解く。
(2)のyを(1)に代入
　x-1=t(tx+1)
　x(1-t^2)=1+t
　x(1-t)(1+t)=1+t
　(1+t){x(1-t)-1}=0　…(★)
ここでt=-1の場合とt≠-1の場合に場合分けして解きます。
元の(1).(2),(3)に場合の条件を適用して解けば簡単に解けます。

t=-1の場合、tを元の方程式に代入して
　(x,y,z)=(1,0,1),(0,1,1) が得られます。
t≠-1の場合　(★)でt≠1を考慮して x=1/(1-t)
　これを(2)に代入してy,(3)からzを求め(4)に代入すれば
　tの２次方程式が得られます。これを解いて求めたt=1±√6を
　x,y,zの式に　代入すればx,y,zが求まります。
即ち
　t=1-√6の時　(x,y,z)=(1/√6,1/√6,2/√6)
　t=1+√6の時　(x,y,z)=(-1/√6,-1/√6,-2/√6)
　が得られます。

お礼

大変助かりました！ありがとうございました。
これを期にもう一度きちんと復習してみようと思います！

回答No.4

info22_

#2,#3です。

A#2に書き写しミスの追加です。
なお、単なる該当行だけの書き写しミスですので、
結果には影響しません。

>　f(x,y,z)=(x-1)^2 +(y-1)^2 +(z-2)
正：f(x,y,z)=(x-1)^2 +(y-1)^2 +(z-2)^2

補足

この連立方程式の解はどのようにして導かれたのでしょうか？重ね重ねすみません(>_<)

回答No.3

info22_

#2です。

理解しやすいようにA#2の解説図を添付しておきます。

g(x,y,z)=2xy+z^2 -1=0
図はg(x,y,z)の上半分の曲面（水色の曲面）で、
一葉双曲面（回転対称の中心軸はy=-x,z=0）です。
点P(1,1,2)からの距離が最小の点が２つ存在し
A(1,0,1)とB(0,1,1)です。
距離の最小値PA=PB=√2

[訂正]
書き写しミスの訂正です。

>∂(f-tg)/∂y=2(z-2)-2tz=0
正：∂(f-tg)/∂z=2(z-2)-2tz=0

回答No.2

info22_

ラグランジェの未定乗数法を用いるなら
点(1,1,2)と任意点(x,y,z)との距離の２乗をf(x,y,z)にとれば良いでしょう。
　f(x,y,z)=(x-1)^2 +(y-1)^2 +(z-2)
ラグランジェの未定乗数法を用いれば
　f(x,y,z)-tg(x,y,z)=0
∂(f-tg)/∂x=2(x-1)-2ty=0
∂(f-tg)/∂y=2(y-1)-2tx=0
∂(f-tg)/∂y=2(z-2)-2tz=0
g(x,y,z)=2xy+z^2 -1=0
これらを連立にしてz≧0の解を求めてやると
　(t,x,y,z)=(-1,0,1,1),(-1,1,0,1),(1-√6,1/√6,1/√6,√(2/3))
これらの(x,y,z)に対して極値f(x,y,z)を計算し比較して
極小値を求め、その中の最小値を得ることが出来ます。
　(x,y,z)=(0,1,1)および(1,0,1)で
　最小値（極小値）f(0,1,1)=f(1,0,1)=2
これは最小距離の２乗なので　最小距離は √2となりますね。

[検証]３次元のプロットソフトで最小距離であることを確認しています。

[別解]
g(x,y,z)=0上の点(xo,yo,zo)における接平面と点(1,1,2)との距離
の最小値を求める解法もあります。

回答No.1

Tacosan

その f(x, y, z) と「距離」との間にはどのような関係があるのですか?

お礼

やっぱりこの考え方では解けませんよね…。
どのようにしたら距離の最小値を求められるのでしょうか？