単振動の問題です。

質問

重さの無視できるゴムのひもに，118ｇの物体をつるすと10cm伸びる.
この物体をつりあいの位置から5cmだけ上げて放すときの周期
および出発よりｔ秒後の変位を求めよ.

という問題があります。
周期は多分求められたと思うのですが、ｔ秒後の変位が求められません。

解る方がいらっしゃれば、どなたかご教授願います。

回答No.1

carvelo · ベストアンサー

とりあえず概略だけ

まず、ゴムが自然長にあるときの物体の位置を原点として鉛直下向きにy軸を取り、物体の質量をm、釣り合いの位置にあるときの自然長からの伸びをy0とし、ゴムが伸びているとき、ゴムにはフックの法則に従う力が生じると仮定して、ばね定数をkとします。
この問題では、ゴムが自然長より短くなることは無いので、常にフックの法則が成り立っていると考えられます。

すると、運動方程式は
m(d^2y/dt^2)=-k(y-y0)
となり、Y=y-y0 とおけば
d^2Y/dt^2=-k/mY
この微分方程式の一般解は
ω=√(k/m)
として（放した時をt=0として）
Y=Asin(ωt)+Bcos(ωt)
従って
y=Y+y0=Asin(ωt)+Bcos(ωt)+y0
と求まります。
あとは、初期条件（t=0のときの速度dy/dt=0、y=(放したときのy)）からA、Bの値を定めれば時刻t（つまりt秒後）のyの式が求まります（Yについての条件になおしてから計算した方が早いと思います）。

質問者さんがもし高校生だとしたら、微分方程式の一般解のところは暗記するしかないかもしれませんが、そのときはYの式が確かに微分方程式を満たしている、っていうことが分かればそれで十分でしょう。

お礼

回答者様の回答を参考に、自分で再度解き直してみたところ、
変位はｘ＝5cos9.9t（cm）となりました。あっていますでしょうか。
丁寧な御解答ありがとうございました。

回答No.2

cambodian

No.1のように運動方程式を解くのが素直なやり方ですし、
たとえ高校生でも、「物理」の教科としては教わっていなくても、
理系であれば「数学」の教科で教わっている範囲で理解できると思います。

　あえて高校物理の範囲内で解こうとすれば、
単振動は三角関数で表せる（sinとcosの和にするか、どちらで表そうとしたら位相に定数を足すか）ことは所与の事実として使っていいので、
初期位相と変位幅（？）に関する方程式を解けば求められます。

お礼

折角ですのでNo.1さんの導き方で解いてみましたが、普通に公式としてもありますね。
周期を先に求めていたので、公式を使う方が早いということに後になって気付きました。
どうも難しく考え過ぎていたみたいです。お恥ずかしい…。

アドバイスありがとうございました。