構造力学 モールの定理

質問

こんにちは。

構造力学のモールの定理（せん断力）についてですが、物理学のカテゴリーが適当かと思いまして質問させて頂きます。

モールの定理でのたわみ角θについてなのですが、答えの正負が合いません。
例えば、左側A点を完全固定、右側B点を自由端として長さLの片持ち梁で考えるとします。
B点に上から集中荷重Pが作用するとき、B点から距離xの曲げモーメントは
M(x)＝-Px
となって、共役ばりに作用する弾性荷重は曲げモーメント図をひっくり返してEIで除したものになると思います。（力の作用方向は下から上へ）
B点のたわみについては、共役ばりB点の曲げモーメントと同値であることから
たわみw＝PL^3/3EI
になるのは分かります。
たわみ角については共役ばりのせん断力Sと同値のことから、
θ(x)＝S(x)
となって、特にB点ではx=0の時で、共役ばりのB点の支点反力をVとすると、
θ(0)＝S(0)＝-V＝PL^2/2EI
となり、θの値が答えと逆になります。

これはせん断力の方向を間違えていると思うのですが、
この問題のように右側B点からx軸をとったとき、
B点を含む右側の自由体図に働くせん断力は下方向が正となり、A点を含む左側の自由体図では上方向が正となるのでしょうか。
そして、これはx軸を左側A点からとったときでは、せん断力の向きは右側からx軸ととるときの逆の方向となるのでしょうか。

今までx軸の取り方に関わらずせん断力の正負は、左側自由体図で下方向、右側自由体図で上方向に作用すると理解していたのですが、間違っていますでしょうか。
それともモールの定理の解き方自体に誤りがあるのでしょうか。

文章が分かりにくいかもしれません。
すみませんが、どなたかご教示ください。
よろしくお願いします。

回答No.2

noname#102385 · ベストアンサー

#1のcyoi-obakaです。

なるほど、質問の意味が大体判りました。
あなたが申している「弾性荷重」というのは「仮想荷重」の事ですね！
この荷重は、片持ち梁の場合、確かに支点条件を入れ替えて、仮想荷重図を考えて求めます。
すると、あなたが仰るように図的にはX軸（梁方向軸）に対称な図を想定する事に成りますが、符号は元のままです！！

つまり、モールの定理もグリーンの定理もその応力図の面積から求めているのですから、仮想荷重で図形が逆転しても符号は変りません！

以上です。

お礼

こんばんは。

ありがとうございます。やっと理解できました。
私の書き方が悪くて、分かりにくかったようですみませんでした。

今回は非常に助かりました。
ありがとうございます。

回答No.1

noname#102385

今晩は　cyoi-obakaです。

質問の意味が明確に理解出来ませんが、
＞答えの正負が合いません。
の示唆する答えとは　θ=PL^2/2EI　という事ですか？
そして、あなたの解は　θ＝-PL^2/2EI　と成るとの事でしょうか？
だとすれば、あなたの解は正解ですよ！！
あなたの設定した条件での撓み角θの任意点x（絶対値）での一般解は
　　θx＝{(x^2/L^2)-1}P・L^2/2EI
と成りますから、B点（x＝0）の撓み角θ＝-P・L^2/2EI　と成ります。
ただし、片持ち梁の場合、撓み角はすべて同一方向の角度に成りますから、±の符号を無視しても問題は無いのですがネ！

質問の意図と違っていましたら、ゴメンナサイ！

補足

おはようございます。
ご回答どうもありがとうございます。

すみません、言葉足らずでした。
私が出した解が θ=PL^2/3EI で、問題の解が θ=-PL^2/3EI です。
この正負が逆となる原因がよく分からないのです。
ちなみに私の解はθx＝{1-(x^2/L^2)}P・L^2/2EI となります。
共役ばりの点Bの支点反力Vは、V=-PL^2/2EI となります。

今一度いろいろ考えてみましたので、質問させてください。
梁の曲げモーメントを弾性荷重に直す過程についてですが、
曲げモーメントM=-Px をEIで除し、曲げモーメント図を反転させて弾性荷重とすると思います。
このとき、弾性荷重は下から上向きにPx/EIの荷重がかかるのか、
もしくは下から上向きに-Px/EIの荷重、つまり上から下向きにPx/EIの荷重がかかるのか、どちらでしょか。
私は荷重に直す際、方向は既に加味されているからと思って、-Px/EIは大きさとして扱うものだと思い、下から上向きにPx/EIの荷重をかけていたのですが。

すみませんがよろしくお願いします。