トリチェリの法則（でいいのかな？）

質問

大学で物理を勉強してます。高校で勉強してないので四苦八苦してます（泣

小学校なんかの実験でやった人はいるとは思いますが、円筒形の容器に水を入れますよね？そして、筒の横に穴をあけると水が飛び出しますけど、この時噴出した水が一番遠くまで飛ぶ穴はどの辺りなのでしょうか？言葉だけでもいいので理由もつけてお願いします　m(_ _)m

回答No.7

Mell-Lily · ベストアンサー

地面に置かれた高さlの円筒形の容器に、水が満たされています。水は、初速度v_0で水平方向に打ち出されます。このとき、水の初速度v_0と水面からの水の位置hとの間には、gを重力加速度として、トリチェリの法則
　v_0^2=2gh
　∴ v_0=√(2gh) … (1)
が成り立ちます。水が地面に達するまでの時間をtとすれば、
　1/2gt^2=l-h
　∴ t=√{2(l-h)/g} … (2)
が成り立ちます。したがって、水が達する地面に達したときの水平距離xは、(1)と(2)から、
　x=v_0t
　=2√{h(l-h)}
　=2√(-h^2+lh)
　=2√{-(h-l/2)^2+l^2/4}
となります。よって、xは、h=l/2とき、最大値x=lをとります。

お礼

丁寧なご説明ありがとうございました
式で示してもらえると分かりやすいですね
なるほど、ｈ＝ｌ/2、つまり半分の高さのときに飛距離は最大になりますね

回答No.8

nubou

これはベルヌイの定理の水が縮まず水流の軌跡が一定の場合ですね
水中の１つの流線上においては
ｇを重力加速度としＰを圧力としＶを流速としＨを高さとすると
Ｖ＾２／２＋Ｐ／ρ＋Ｈ・ｇは一定である

水面から噴出し口に至る流線を前記流線とすると
水面においては
Ｖ＝０，Ｐ＝ｐ（大気圧），Ｈ＝ｈ（噴出し口からの高さ）
噴出し口においては
Ｖ＝ｖ（噴出しの速さ），Ｐ＝ｐ，Ｈ＝０
ベルヌイの定理に当てはめて
ｐ／ρ＋ｈ・ｇ＝ｖ＾２／２＋ｐ／ρ
従って
ｖ＝√（２・ｇ・ｈ）

なおベルヌイの定理はニュートンの第２則から導くことができるが流線が変化せず水が縮まない場合にはそれを導く式が偏微分方程式にならないので簡単に導くことができる

お礼

実はこの問題の前にｖ＝√（２・ｇ・ｈ）を証明する問題があったんですよ（苦笑
こっちは自力で求める事が出来ました
なるほど、こういう証明方法もあるのか…
ありがとうございました

回答No.6

sippouhugu

#2です。
水の飛ぶのを、x軸方向（水平）とy軸方向（垂直）に、分けて考えてください。
y軸方向は、落下運動ですよね。
高いところ程、地面につくまでに時間がかかります。
だから、上の穴ほど時間が長いのです。（＃４で、質問されたことの答えです。）
それから、x軸方向は、等速直線運動ですよね。（こういう問題の場合、たいてい空気抵抗等は無視しますから）。
ですから飛距離を「速さ」x「時間」と言ったのです。

お礼

あ、ようやく『上の穴ほど時間が長い』の意味が理解できました
何度もありがとうございましたm(_ _)m

回答No.5

sippouhugu

すみません、ふたたび＃２です。
＃４を訂正します。時間は、高さに比例しません。一言余分でした！
でも、言いたいことは、わかっていただけたでしょうか？

補足

水の飛距離は、「速さ」×「時間」なんでしょうか…
要するに位置エネルギー（穴と水の距離）と速度の和が最大になれば一番遠くに飛ぶってことですよね？
う～む…

回答No.4

sippouhugu

＃２です。
ですから、高さが問題なのです。
飛ぶ距離は、「速さ」X「時間」ですよね。
速さは、下の穴の方が速い。
時間は、上の穴の方が長い。（高さに比例）
よって、飛ぶ距離は真ん中の穴が一番ってことです。
２０年前なら数式で表せたのですが・・・。
すみません、イメージでわかってください。

補足

＞時間は、上の穴の方が長い

これはどういう意味でせう？
時間が長いほど上の穴の方が遠くに飛ぶと言う意味ですか？
実験ではどの時間帯でも飛距離はペットボトルの１／２の位置にあけた穴が一番遠くまで飛んでますが…
ボクの予想では穴の位置と飛距離の関係は上に凸な二次関数になると思うのですが…
式で証明できませんけど…（涙

教授の話ではトリチェリの法則
Ｖ×Ｖ＝２ｇｈ　　＜Ｖの２乗はｇとｈの積を２倍したものと等しい＞
（Vは水が穴から出る時の速度、ｇは重力加速度、ｈは筒の頂点から穴までの距離）
を使うらしいんですが…

回答No.3

digitalian

まさか！？　と思ったので、実験しました。

実験方法は、ペットボトルの横に 5箇所同じ大きさの穴を開け、水道水を満たし、ボトルを平らなところへ立てるというもの。もちろんキャップは外してあります。結果は、No.1 の回答どおり、下の穴ほど、遠くまで水が飛び出しました。

その教授さんの想定している状況と、私の想像している状況が、違うのかもしれませんね。簡単に実験できますので、ぜひお試しになってください。(^^

補足

どうも～
実験をしたところ、小さいペットボトルではうまく行かないようです
容量が少ないのですぐに水がなくなってしまうからだと思いますが…
ボクの実験では…
■ペットボトルに2ミリ×2ミリほどの穴を上から１／４、１／２、３／４の位置にあける
■穴をテープで塞ぎ、水を入れる
■テープをはがして飛距離を確かめる
大き目のペットボトルだと３つ開けた内の真ん中（上から１／２の位置）が一番よく飛びました
何で？（涙

回答No.2

sippouhugu

私も、一番下の穴だと思っていたので、「？」と思って、実験してみました。ペットボトルに穴を開けて・・・。
そうしたら、本当に真ん中の穴が一番遠くへ飛びました！
水圧のせいで、一番下の穴が一番勢いがあるのですが、いかんせん高さが無いので遠くまでは飛ばないのです。
もし、ある程度高さのある台の上に置いたならば、一番飛ぶのは、やはり一番下の穴です。
でも、地面に置いた場合は、遠くへ飛ぶ前に地面についてしまうので、真ん中の穴と言うことですね。

補足

ですよね～。やっぱり水圧が一番かかる下層の方が遠くに飛ぶと思いますよね～
う～ん、真ん中の穴が一番飛ぶ理由が知りたい…

回答No.1

digitalian

一番水が遠くまで届くのは、一番下の穴です。
下へ行くほど、かかる水圧が大きくなるためです。

トリチェリの法則というのは、水銀を満たした長い試験管を水銀に浸したお皿につけて立てたとき、その水銀柱の高さは、地面から約76cmとなる現象をいいます。これはお皿にかかる大気圧（1気圧＝約1013ヘクトパスカル）の力では、水銀をその高さまでしか持ち上げられないためです。

ご質問の現象ですと……パスカルの法則になるのでしょうか。

補足

お早い回答ありがとう御座います　m(_ _)m
教授の話では、筒の高さから丁度半分の位置に穴をあけると最も遠くに飛ぶそうなんですが…