背理法を用いた、整数問題の証明
a,b,cは整数とし、a^2+b^2=c^2とする。a,bのうち、少なくとも１つは３の倍数であることを証明せよ。
という問題について質問します。
a,bはともに3の倍数でないと仮定する。
このとき、a=3n+1,b=3m+1(n,mは整数）とおく。
a^2=3(3n^2+2n)+1
b^2=3(3m^2+2m)+1
ただし、3n^2+2n,3m^2+2mは整数。
よってa^2,b^2を３で割った余りはともに1である。
※
a^2+b^2=3(3n^2+2n)+1+3(3m^2+2m)+1
=3(3n^2+2n+3m^2+2m)+2
3n^2+2n+3m^2+2mは整数である。
したがって、a^2+b^2を３で割った余りは２である。
一方、cが3の倍数のとき、c^2は3で割り切れ、
cが3の倍数でないとき、c^2を3で割った余りは1である。
すなわちc^2を3で割った余りは0か1である。
※
よって、a^2+b^2=c^2において、
左辺は3で割ったときの余りが２、右辺は3で割ったときの余りが0か1
であるから矛盾する。
ゆえに、背理法よりa^2+b^2=c^2ならば、a,bのうち、少なくとも1つは3の倍数である。
このように解答したのですが、※と※の間の部分に対して数学の先生から、不十分というコメントを書かれてしまいました。
どこが不十分なのか分かる方がいらっしゃいましたら、教えていただけないでしょうか。
よろしくお願いします！
お礼
非常にスマートな回答ありがとうございます！ 思った以上にシンプルで驚きました。