関数の対応

質問

x = 2^t + 2^(- t) とすると

x = 2 のとき、対応するtの値は t = 0 のみであるが、

x > 2のとき、対応するtの値は２つ存在する。

とあるのですが、確かにグラフを書いてみると、上述のようになったのですが、
このような関数の対応はやはりグラフを書いて調べるしかないのでしょうか？
それとも x = 2^t + 2^(- t) は
特別な（相加相乗平均の形）関数としてグラフの概形は頭に入れておくべきなのでしょうか？

回答No.1

sanori · ベストアンサー

こんばんは。

この場合は、ｔ＝ａ　と　ｔ＝－ａ　のときとで同じｘの値になりますから、
「２つ存在する」ｔの値は、ａと－ａですよね。

２つ存在しないのは、２^a　＝　２^(-a)　のときだけですから、
ａ　＝　－ａ
ａ　＝　０
それは、つまり、
２^0　＋　２^(-0)　＝　１＋１　＝　２　＝　ｘ
のときだけですね。

・・・というわけで、

＞＞＞このような関数の対応はやはりグラフを書いて調べるしかないのでしょうか？

このケースでは、上述の通り、グラフを描かなくてもわかります。

＞＞＞それとも x = 2^t + 2^(- t) は特別な（相加相乗平均の形）関数としてグラフの概形は頭に入れておくべきなのでしょうか？

必要はないと思います。
似たような形の式には今後も出会うと思いますが、
まずは、ｔ＝ａ　と　ｔ＝－ａ　とで同じｘの値になる、
つまり、軸に関して線対称なグラフになる、というイメージだけでよいと思います。

お礼

返事が送れてしまって、申し訳ありません。ご親切に質問に答えてくださってありがとうございました。

回答No.4

mister_moonlight

＞それとも x = 2^t + 2^(- t) は特別な（相加相乗平均の形）関数としてグラフの概形は頭に入れておくべきなのでしょうか？

いいところに気がついている。とは言え、敢えてグラフは必ずしも必要としないが。

2^t ＝aとすると、a＞0で、2^(- t)＝1/aから、x＝a＋1/aとなる。‥‥(1)
a＞0から相加平均・相乗平均から、a＋1/a≧2　。等号はa＝1の時で、これが最小値。
従って、a＋1/aが2以上、例えばa＋1/a＝4ならaの値が2つあることは計算してみれば簡単にわかるはず。

お礼

返事が送れてしまって、申し訳ありません。ご親切に質問に答えてくださってありがとうございました。

回答No.3

info22

2^t=e^(tlog2)
2^(-t)=e(-tlog2)
ですから、
u=tlog2とおけば
x=e^u+e^(-u)=2cosh(u)
=2cosh(tlog2)
となりますね。
この
y=cosh(x)
といった関数は偶関数ですから
x=0でy=1
x=±aで同じy=cosh(a)の値をとりますね。

この関数については #1,#2 さんがA#2の最初に書かれたURLの所をご覧下さい。

お礼

返事が送れてしまって、申し訳ありません。ご親切に質問に答えてくださってありがとうございました。

回答No.2

sanori

再びお邪魔します。

前回、
「似たような形の式には今後も出会うと思いますが」
と書きましたが、
以下が、非常に有名な例です。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%8C%E6%9B%B2%E7%B7%9A%E9%96%A2%E6%95%B0

http://akita-nct.jp/yamamoto/lecture/2006/3E/2nd/html/node2.html#SECTION00022000000000000000

お礼

返事が送れてしまって、申し訳ありません。ご親切に質問に答えてくださってありがとうございました。