指数の拡張

質問

3^(3/2)÷3^(-3/2)＝

8^(5/6)×8^(-1/2)÷8^(1/3)＝

3^√16×3^√2÷3^√4＝

3^√16は16の3乗根って意味です。
計算どうやればいいんですか？

回答No.2

R_Earl · ベストアンサー

> 3^(3/2) ÷ 3^(-3/2) = 3^(3/2)×3^(3/2)になりますよね
> それで行くと、8^(5/6) × 8^(-1/2) ÷ 8^(1/3)はどうすればいいですか

全部かけ算に直したらどうなるかということですか？

わり算は、「逆数のかけ算」に直せます。
6 ÷ 2 = 6 × (1/2)のようにです。
a^xの逆数はa^(-x)です
（2 = 2^1の逆数は2^(-1) = 1/2ですし、9 = 3^2の逆数は3^(-2) = 1/9です）。
つまり指数のプラスマイナスを反転させると逆数になります。

8^(5/6) × 8^(-1/2) ÷ 8^(1/3)の「÷ 8^(1/3)」を逆数のかけ算に直すと
「× 8^(-1/3)」になります。
結局

8^(5/6) × 8^(-1/2) ÷ 8^(1/3)
= 8^(5/6) × 8^(-1/2) × 8^(-1/3)

となります。

回答No.1

R_Earl

a^xとa^yがあったとき、

(a^x) × (a^y) = a^(x + y)
(a^x) ÷ (a^y) = a^(x - y)
(a^x)^y = a^(xy)

となります。これらを利用すれば最初の2つの問題は解けます。

3^(3/2) ÷ 3^(-3/2) = 3^{ (3/2) - (-3/2) }
8^(5/6) × 8^(-1/2) ÷ 8^(1/3) = 8^{ (5/6) + (-1/2) - (1/3) }

累乗根の計算規則に関しては、平方根のルートとほとんど同じです。

(√a) × (√b) = √(ab)
(√a) ÷ (√b) = √(a/b)

と同じように√の中身同士でかけ算わり算すれば良いんです。
ただしn乗根同士のかけ算わり算でしか成り立ちません。
3^√2 × 3^√4 = 3^√(2 × 4)はOKですが、
4^√2 × 3^√4に関してはそういったことができません。

今回の問題の場合、

3^√16 × 3^√2 ÷ 3^√4 = 3^√(16 × 2 ÷ 4)

となります。
ちなみに平方根では、√{ (a^2)b } = a√bが成り立ちますが、
n^√{ (a^2)b } = a(n^√b)とはならないので注意して下さい。
n乗根の場合、n^√{ (a^n)b } = a(n^√b)となります。
具体例をあげるなら、3^√54 = 3^√{2 × (3^3)} = 3 × (3^√2)です。

補足

3^(3/2) ÷ 3^(-3/2) = 3^(3/2)×3^(3/2)になりますよね
それで行くと、8^(5/6) × 8^(-1/2) ÷ 8^(1/3)はどうすればいいですか