【組み合わせ】

質問

(1)1000から9999までの4ケタの自然数のうち、
1000や1212のようにちょうど2種類の数字から成り立っているものの個数は？

(2)ｎ桁の自然数のうち、ちょうど2種類の数字から成り立っているものの個数は？

(1)は、2種類の文字に、０を含まないときと０を含む時で
場合分けするようです。

(2)は(1)の考えを一般化するみたいです。

解ける方いらっしゃいましたら、
解説お願いしますm(__)m

回答No.4

yyssaa · ベストアンサー

(1)1000から9999までの4ケタの自然数のうち、
1000や1212のようにちょうど2種類の数字から成り立っているものの個数は？
＞1と0で出来る数字の数は1*2^3-1=7個
2～9と0で出来る数もそれぞれ7個あるので、以上63個・・・(ア)
1と2で出来る数字の数は2^4-2=14個
1～9から2数字の選び方は9C2=36
よって1～9の間の2数字で出来る数字の数は14*36=504・・・(イ)
求める数は(ア)+(イ)=63+504=567個・・・答え
(2)ｎ桁の自然数のうち、ちょうど2種類の数字から成り立っているものの個数は？
＞0と1出来るn桁の自然数の数は{2^(n-1)-1}個
2～9と0で出来る数もそれぞれ{2^(n-1)-1}個あるので、
以上9*{2^(n-1)-1}個・・・(ア)
1と2で出来るn桁の自然数の数は{(2^n)-2}個
1～9から2数字の選び方は9C2=36
よって1～9の間の2数字で出来るn桁の自然数の数は
36*{(2^n)-2}個・・・(イ)
求める数は(ア)+(イ)=9*{2^(n-1)-1}+36*{(2^n)-2}
=9*2^(n-1)-9+36*2*2^(n-1)-72=81*{2^(n-1)-1}・・・答え

お礼

丁寧な解説、ありがとうございました！
とても助かりました(><)

回答No.3

sanori

また、すみません。
最後のところ、詰めが甘かったです。
もっと簡単な式になりますね。

４５（２^n － ２^(n-1)）
　＝４５×（２－１）×２^(n-1)
　＝４５×２^(n-1)個

回答No.2

sanori

訂正します。

○●
●○
の１パターンのみ。

↓

○●
●○
の２パターンのみ。

回答No.1

sanori

こんにちは。

００～９９の場合は、
○●
●○
の１パターンのみ。
○○と●●はダメ。

０００～９９９の場合は、
○○●
○●○
○●●
●○○
●○●
●●○
の６パターン。
○○○と●●●はダメ。

これでわかると思いますが、
頭に０がついてもよい場合は、ｎ桁のときに　２^n－２　通りの○●パターンがあります。
そして、○と●に入る数字の組は、10Ｃ2＝４５　で与えられます。
つまり、頭が０でもよければ、ｎ桁では、４５（２^n－２）個の２種類文字の数があります。

００～９９
４５（２^2－２）＝９０個

０００～９９９
４５（２^3－２）＝２７０個

００００～９９９９
４５（２^4－２）＝６３０個

よって、（１）の答えは、
６３０－２７０＝３６０個

（２）の答えは、
ｎ桁では、
４５（２^n－２）－４５（２^(n-1)－２）
　＝　４５（２^n － ２^(n-1)）個