レムにスケートのグラフを描きたいのですか、

質問

F（x,y）=y^2 + xy -x^3 = 0
のグラフが描きたいのですが、微分したりして特異点を出したりしていけば描けるはずなのですが上手くいきません。（計算式が間違ってるのかもしれませんが）
描き方，どんな形になるかを教えてください。

回答No.1

siegmund · ベストアンサー

(1)　　F（x,y）=y^2 + xy -x^3 = 0
はレムニスケートではありません．
大体下のような形ですね．
◎が原点です．
ディスプレイから少し離れて目を細くして見るといいかも知れません．

　　　●●　Ａ　　　　Ｄ　
　　○　　●　　　　　　●●
　　　●●　●　　　●●
　　　　　●●◎●●
　　　　Ｂ　　　●
　　　　　　　　　●　Ｃ
　　　　　　　　　　●
　　　　　　　　　　●
　　　　　　　　　　　●

(1)を y について解くとわかりやすいでしょう．
(2)　　y = (1/2){-x±√(x^2 + 4x^3)}
√の中が負でないという条件から，
(3)　　x^2 + 4x^3 ≧ 0　　==>　　x ≧ -1/4
がわかります．
上のグラフの○が x=-1/4 の点です．

グラフが原点を通るのは明らかです．
原点付近(|x|≪1)では
(4)　　√(x^2 + 4x^3) = √{x^2(1+4x)} = |x| √(1+4x) ≒ |x| (1+2x)
と近似できますから，(2)に入れてみると((2)式の複合と x の正負に注意)
(5)　　y ≒ x^2　　(Ｂ，Ｄに対応)
(6)　　y ≒ -x　　 (Ａ，Ｃに対応)
が得られます．
上のグラフには４本の枝がありますが，対応関係は上の式の通りです．

x が非常に大きくなると√の中の 4x^3 が主要になりますから
(7)　　y ≒ 2x^(3/2)　　　(Ｄ枝の x が大きい側)
(8)　　y ≒ -2x^(3/2)　 　(Ｃ枝の x が大きい側)

なお，レムニスケートは
(9)　　(x^2 + y^2)^2 = a^2(x^2 - y^2)
で表されます．極座標表示もあります．
グラフは∞の形．中央の結び目が原点です．
検索エンジンで「レムニスケート」とやるといっぱいヒットします．
例えば
http://okumedia.cc.osaka-kyoiku.ac.jp/~tomodak/grapes/image/polor.html
にきれいなレムニスケートのグラフが載っています．

なお，過去にレムニスケート関連の質問がありました．
質問検索で「レムニスケート」と入れてみてください．

お礼

ありがとうございました。すごく助かりました。