化学反応の解析について

質問

以下のような問題を考えています．

ある水槽があり，水が流量Q_in(m3/s)で流入し，流量Q_out(m3/s)で流出します．ですから，水槽内の水の体積V(m3)も刻一刻と変化します．
流入水には汚染物質がC_in(mg/L)の濃度，含まれています．一方で，水槽の底部から同じ汚染物質が，R(mg/m2/s)の速度で溶出しています．
ある時刻tの水槽内の汚染物質濃度C(mg/L)を求めよ．

この状態を定式化したいのですが，溶出のところで詰まってしまいます．

d(VC)/dt=Q_in×C_in-Q_out×C+・・・（考え中）

また，定式化できたとして，これは，差分法やルンゲクッタ法などを用いて数値的に解くことになるのでしょうか．それとも，解析的に解けそうでしょうか？

ご教授いただきたくよろしくお願いします．

回答No.1

noname#70519 · ベストアンサー

t～t+dt の間の出来事を式に表します。
dV=Q_in・dt-Q_out・dt　であり、汚染物質量の変化は、
d(VC)/dt=Q_in・C_in-Q_out・C+R・A
となります。
Aは水槽の底面積です（溶出速度、R(mg/m2/s) は水槽底面からの
単位面積当たりの溶出速度とします）。
（ここでは、流入した水が直ちに水槽内の水と完全に混ざると仮定しています）

d(VC)/dt=C・(dV/dt)+V・(dC/dt)
であり、
V=∫[0～t]ΔV・dt=ΔV・t
であるから（ここでは、V≧0 でなければならないので、Q_in≧Q_out　とします）

従って、
C・(dV/dt)+V・(dC/dt)=Q_in・C_in-Q_out・C+R・A　（1）

ΔV=Q_in-Q_out
β_i=Q_in/ΔV
β_o=Q_out/ΔV

とすると（1）式は

t・(dC/dt)+(1+β_o)・C=β_i・C_in+(R・A/ΔV)
となります。

これを解きます。
β_i・C_in+(R・A/ΔV) は定数ですから、Pとおき
P=β_i・C_in+(R・A/ΔV)　とします。
t・(dC/dt)+(1+β_o)・C=P

dC/dt={P-(1+β_o)・C}/t
dt/t=dC/{P-(1+β_o)・C}
∫[T_0～t]dt/t=∫[C_in～C]dC/{P-(1+β_o)・C}
ln(t/T_0)=[ln{P-(1+β_o)・C_in}/{P-(1+β_o)・C}]/(1+β_o)
(t/T_0)^(1+β_o)={P-(1+β_o)・C_in}/{P-(1+β_o)・C}
P-(1+β_o)・C={P-(1+β_o)・C_in}・(t/T_0)^{-(1+β_o)}

（ここで、t=T_0 時は短い時間とし、その時までは、
汚染物質の溶出は起こらないとします。
これは、0 の対数を避けるための操作です）

これから、
C=[P-{P-(1+β_o)・C_in}・(t/T_0)^{-(1+β_o)}]/(1+β_o)

P、β_o　などを元の変数に戻すと大変な式になるので、
式の変形はここで打ち切ります。

補足

ありがとうございました．

C・(dV/dt)+V・(dC/dt)=Q_in・C_in-Q_out・C+R・A　（１）
t・(dC/dt)+(1+β_o)・C=β_i・C_in+(R・A/ΔV)　（２）

（１）から（２）へ変形する際は，一度，ΔVで（１）を割っているのですね？
（１）をΔVで割ると，
C・(dV/dt)/ΔV+t・(dC/dt)=β_i-β_o・C+R・A/ΔV
となり，それを変形すると（２）式になるようなのですが，
(dV/dt)をΔVで割ると，1になるのでしょうか？

また，T_0は物理的にはどういう値でしょうか？

回答No.2

noname#70519

> (dV/dt)をΔVで割ると，1になるのでしょうか？
V=∫[0～t]ΔV・dt=ΔV・t ですから
dV/dt=ΔV　ですね。
全体を ΔV で割っているので、(dV/dt)/ΔV=1 となります。

> また，T_0は物理的にはどういう値でしょうか？
T_0 として、0 を取れれば良いのですが、0 時において床面からの汚染物質の
溶出はありえませんね？　従って、液が流入し始めて、汚染物質が溶出し
始めるであろう時刻を仮定すればよいのです。実際には、流入し始めたらすぐに
溶出が始まるということでしょうが、この時間を適当にとっても誤差は
大きくはならないでしょう。というのは、
(t/T_0)^{-(1+β_o)}]/(1+β_o)
という項は時間が経つほど、非常に緩やかに 0 に収斂するからです。

極端なケースとして、T_0 を大きくとった場合（汚染物質の溶出が遅い場合に相当）
例えば、{P-(1+β_o)・C_in}・(t/T_0)^{-(1+β_o)} の項が、0.9・P であれば
C=0.1・P/(1+β_o)　となるのに対し
T_0 を小さくとった場合（汚染物質の溶出が早い場合に相当）
例えば、{P-(1+β_o)・C_in}・(t/T_0)^{-(1+β_o)} の項が、0.1・P であれば
C=0.9・P/(1+β_o)　となります。適当とはいっても経験から妥当な値を取る
必要があるでしょう。

一つ気になっているのは、この仮定では水の体積は時間と共に大きくなるので
液の流入量に対し水槽の容積が極めて大きくなければならないということです。
（このような仮定をしなければ、式が導けないから止むを得ないのですが）

この辺をもう少し現実的に問題設定された方が良いように思います。

補足

>全体を ΔV で割っているので、(dV/dt)/ΔV=1 となります。
ありがとうございました．分かりました．

>一つ気になっているのは、この仮定では水の体積は時間と共に大きく
>なるので液の流入量に対し水槽の容積が極めて大きくなければならな
>いということです。

すみません．条件の設定をお知らせしていませんでした．
t=0時の時には，すでに，ある汚染物質濃度の水がすでに入っている状態で，その状態にさらに外から流量Q_inで水を入れ，Q_outで水を出すという状態をイメージしておりました．
そして，場合によっては，流入より流出が多くなったり，流入をとめたりして，水槽からはあふれないように調節しているというイメージです．