ミクロ経済学、選好関係の凸性と効用関数の準凹性について。

質問

合理的選好関係が凸性を満たすときに、対応する効用関数u:X→Rは準凹性であるとされていますが、それはなぜでしょうか？

よろしくお願いします。

回答No.1

nash50 · ベストアンサー

以下のように容易に示すことができます。

Xを消費集合とし、さらにある効用関数u:X→Rが合理的選好関係≫を表現しているとします（合理的選好関係とは推移性と完備性を満たすものと定義しています）。
すなわち任意のalternative x,y∈Xに対して
x≫y　⇔　u(x)≧u(y)
が成り立っているとします。
このときuが準凹であること、すなわち任意のx,y∈Xと0≦t≦1に対して
u(tx+(1-t)y)≧min{u(x),u(y)}
であることを示します。
選好関係≫が凸であることから、任意のx,y∈Xに対して、
tx+(1-t)y≫x or tx+(1-t)y≫y
⇔u(tx+(1-t)y)≧u(x) or u(tx+(1-t)y)≧u(y)
⇔u(tx+(1-t)y)≧min{u(x),u(y)}
以上で証明できました。

お礼

ご丁寧な解説どうもありがとうございます。

Jehle and Renyのアペンデックスにもしつこく書いてある事にいま気づきました。。。

quasiconcavity の定義を使って証明するのですね。

ありがとうございました。