組み合わせの問題です

質問

白玉が４個、黒玉が3個、赤玉が１個あるとする。これらを一列に並べる方法は、(ァ)通り、円形に並べる方法は(イ)通りある。 さらにこれらの玉にひもを通し、輪を作る方法は(ゥ)通りある。ァは解りましたが、イとウの求め方が わかりません。ちなみに解答は、(ァ)2８０、(イ)35、(ウ)１９です。どなたか教えてください。よろしくお願いいたします。

回答No.1

naniwacchi · ベストアンサー

(イ)は、（ア）と答えを見比べてると、なんとなくわかるかもしれませんが。
一列に並べたものをそのまま輪っかにすることを考えます。
「輪っかにする」ということは、「回して重なるものは同じもの」と考えます。

ちょうどダイヤルを回すかのごとく、カチッカチッと一つずつ回していくことを考えると
全部で玉は 8個なので・・・

（ウ）は、（イ）の結果を使います。
通常、数珠順列は円順列÷2として計算します。
なぜ 2で割るのかというと、「裏返したら重なるものを同じもの」と考えているからです。
これは異なるものを並べるときの考え方です。

ところが、いまは同じ色の玉があるので様子が異なります。
もととなる円順列で考えます。

A)赤玉を基準として【左右対称でない並び】には、
持ち上げて裏返したら重なる並びが必ず存在します。
つまり、このような並びは通常と同じ「÷2」を用います。

B)赤玉を基準として【左右対称になる並び】には、
持ち上げて裏返しても変わらないので重複するものがないことになります。
つまり、このような並びは「割る必要がありません」

A)と B)はすべて、（イ）で求めた 35とおりの中に含まれています。
そこで、B）が何とおりあるか勘定してみると、
添付のとおり残りの黒玉が⇔のところに入る 3とおりしかありません。

よって、A)に該当する円順列は 35- 3＝ 32とおりとなります。

ということで、最終的に 32÷2+ 3＝ 19とおりとなります。

お礼

ご丁寧に画像までつけていただきありがとうございます。わかりました。