円順列の問題

質問

円順列の問題
白玉4個 黒玉2個 赤玉1個がある

[1]これら7個の玉を円形に並べる方法は何通りか

[1]で一個である赤玉を基準として
残りを6C4としたら黒玉は自動的に決まるので
6C4を解いて15と出るのですが（解答）

他のたまを基準にした場合は考えなくていいのですか？

赤玉を基準にした場合と、黒玉を基準にした場合と、白玉を基準にした場合をそれぞれもとめて
足してしまいそうなんですが・・・

どこかダブってしまうのでしょうか？
教えてください。

回答No.4

sanori · ベストアンサー

コメントにお答えします。

＞＞＞
赤玉を基準にしても他のどの玉を基準にしても
答えは15通りになりますよね？
それぞれを足して45とかしてしまいそうなんですが・・・

黒球（のうち１個）を基準に考えると、いったん３０通りという答えが出て、
２つの黒玉の場所は入れ換えても良いから・・・
・・・という感じです。

＞＞＞頭の中でどうダブっているのかがイメージできません

はい。
この問題は、１個の玉があるサービス問題ですが、違う解き方や違う問題になると、複雑になってきますね。

では、これにて。

回答No.3

noname#116057

1個だけある赤玉を固定すれば，4個の白玉と2個の黒玉を一列に並べる場合の数を求める問題に帰着できる。白玉が4個，黒玉が2個あるので，
(4＋2)!/(4!・2!)＝(6・5)/(2・1)＝15　(答)15通り

回答No.2

sanori

こんにちは。

＞＞＞他のたまを基準にした場合は考えなくていいのですか？

この問題には、赤玉だけが１個という特徴があります。
ですので、赤玉を基準にするのが得策だということです。

ただ、模範解答は、慣れた人以外への説明としては、少し不親切だと思います。

玉の場所に１～７の番号をつけるとします。
すると、置き方は、たとえば
白、黒、赤　の順番に決めるとすれば
7Ｃ4　×　3Ｃ2　×　1Ｃ1　＝　７×６×５×４／（４×３×２×１）×３×２／（２×１）×１
　＝　１０５通り
しかし、ぐるっと回してもよいので、
１０５　÷　７　＝　１５通り

しかし、赤を置く場所を１番に決めてしまえば、
白、黒の順に選んで、
6Ｃ4　×　2Ｃ2　＝　6Ｃ4
この、2Ｃ2が１であるがために、6Ｃ4のみが残ることを「黒玉は自動的に決まるので」と言っているわけです。
6Ｃ4　＝　６×５×４×３／（４×３×２×１）　＝　１５通り
赤を２番や３番や・・・７番に置いても、円順列なので赤を１番に置いたときと同じと見なします。このことを「赤を基準として」と言っているのです。
これを、２個以上ある玉を基準にして考えると、少し複雑になることはわかりますよね。

補足

赤玉を基準にしても他のどの玉を基準にしても
答えは15通りになりますよね？
それぞれを足して45とかしてしまいそうなんですが・・・

頭の中でどうダブっているのかがイメージできません

回答No.1

koko_u_u

「基準にした」とは何を意味しているのか考えましょう。