畳込み積分に因果性はありますか？

質問

先日大学で畳込み積分を習いました。

同時に線形、時不変、因果システムなどについても軽く話があったのですが・・

畳込み積分は線形時不変システムにあたりますよね。
その証明も理解できました。
ただ、因果性についてはどう証明したらいいかわかりません。
そもそも畳込み積分に因果性はあるのでしょうか。

入力がなければ出力はない。
x(t)=0 (t<0)なら y(t)=0 (t<0)。
だから因果性はあると思ったのですが・・。

入力x(t)出力y(t)インパルス応答h(t)で考えて
x(t)*h(t)=∫[-∞→∞]x(τ)h(t-τ)dτ=y(t)
の式から因果性を証明するにはどうすればいいのでしょうか。

よろしくお願いします。

回答No.1

rabbit_cat · ベストアンサー

＞入力がなければ出力はない。
＞x(t)=0 (t<0)なら y(t)=0 (t<0)。
＞だから因果性はあると思ったのですが・・。
これは、因果性の定義です。こういう性質があるなら、そういうシステムを因果性というわけです。なんで、畳み込み積分がこういう性質をもっているかどうかを調べなくてはいけません。

結論を言えば、畳み込み積分は、h(t)がt<0でh(t)=0であるなら（またそういう場合に限って）因果性があります。
証明は、まあ、ほとんど明らかな気がするんですが。。まあ、適当に考えてみてください。
必要条件は、ただ計算してみるだけです。
十分条件は、対偶を示せばいいでしょう。
とにかく、t<0でh(t)=0でない関数と、t<0でx(t)=0な関数 で、y(t)がt<0でy(t)=0 でないような、例をを何か１つ探してくればＯＫです。

お礼

お礼が遅くなってしまい、申し訳ありませんでした。
参考になりました。
ありがとうございます。