積分因子について
知恵袋でも質問したのですが、回答がこなかったのでこちらで質問します。
答えられる範囲でいいんで回答お願いします。
微分方程式の積分因子による解放について
（x + (x^2 + y^2)x^3)dx + ydy = 0という微分方程式の積分因子を用いた解法について教えてください。
積分因子については、exp((1/2)x^4)ともとまったのですが、その後の計算がよくわかりません。
積分因子をかけることによって、完全微分方程式となって解がはじめて得られるようになると思うので、
積分因子をかけました。
exp((1/2)x^4)(x+(x^2+y^2)x^3)dx+exp((1/2)x^4)ydy
となったのですが、ここから分かりません。
詳しく回答教えていただけるとありがたいです。
それから、完全微分方程式という用語についてなのですが、この完全ってどういう意味なんでしょうか？
完全というのは、解が得られるという意味なのでしょうか？
最初の式ってのは、解が得られないのでしょうか？
ですが、積分因子を用いることによって解が得られるのでしょうか？
よく完全微分方程式は、du=pdx+qdyみたいな形で示されますが、よくこの式の意味するところがわかりません。
u(x,y)という二つの変数をもった関数があったとする。
その関数をxについて偏微分したものが、pを表しているのでしょうか？
pはdu(x,y)/dxというのが省略されてpとかいているだけなのでしょうか？
多変数関数、偏微分についてもくわしく勉強したことがなく、いきなり微分方程式を独学で勉強しているので、謝った考えた方をしている可能性もあり、きちんと理解しておきたいので、よろしくお願いします。
できれば詳しく解説してくださるとありがたいです
お礼
解の存在性定理の証明ですか・・。 ピカールの逐次近似という解放があれば、ほとんど全ての微分方程式が解けると聞いていますが、 もっと簡単な方法でも解けるのならばそれを使うと思いますし、 場合によりけりですよね。 ラプラス変換はともかく、ピカールの逐次近似については あまり書籍上でも記載してあることが多くないので・・ ご回答ありがとうございました。