円運動かそれとも自由落下か

質問

簡単な文章なのですが、ずっと考えています。

質量が無視できる長さa[m]の棒の先端に質量m[kg]の錘がくっついている。
錘でないほうの端を釘にさして、半径aの円運動が自由にできるようにする。
今錘を釘の真上に持ってきて静止させておき、静かに放す。
ここを基準にしたとき、棒が動き出してからの回転角度がθになるまでの
時間を求めよ。

以前別の掲示板で質問させていただきましたが、自由落下で考えるという
ものと、棒からの拘束を考慮しないといけないもの（微分方程式）
と二つに分かれ、特に後者は難しかったのでよくわかりませんでした。
下記サイトをご覧になっていただくと助かります。

http://www.crossroad.jp/cgi-bin/bbs/mathbbs/cbbs.cgi?mode=res&namber=35346&rev=&page=0&no=0

きちんとした結果を出したいのですが難しく、困っております。
自分で考えた問題ですので不備なところがあるかもしれません。
どなたかご教授願います。

回答No.6

htms42 · ベストアンサー

（１）ｒθ”=ｇsinθ
　両辺にθ'をかけます。
　θ'θ"＝(ｇ/ｒ)θ'sinθ
　((θ')^2)'＝－２(ｇ/ｒ)(cosθ)'
　(θ')^2＝Ｃ－２(ｇ/ｒ)cosθ
　　θ＝０の時、θ'＝０　ですから
　　(θ')^2＝２(ｇ/ｒ)(１－cosθ)＝４(ｇ/ｒ)(sin(θ/2))^2　　（※）
　　θ'＝２√(ｇ/ｒ)sin(θ/2)

　　θ＝０の時、θ'＝０になるのは初速度０の運動を考えているからです。ところがこの場所では力が鉛直にしか働いていません。水平方向への飛び出しは無理だということになります。θ＝０は釣りあいの位置です。でも不安定な釣り合いです。わずかな揺らぎがあれば動き始めます。回復力が出てきませんので安定な釣り合いではありません。ピストンの動きなどの場合はこういう点を死点と呼んでいますね。
　小さな初速度を与えてやれば動き始めます。
　エネルギー保存の式ではこういうことは分かりません。　

　　微分方程式を解くときは
　ｄθ/sin(θ/2)＝２√(ｇ/ｒ)ｄｔ
　ですが左辺が問題ですね。

（２）ｖ＝ｒθ'であることを考えるとエネルギー保存の式から（※）の式が出てきます。

お礼

求めていたものです。非常にわかりやすいものをありがとうございました。

回答No.5

yokkun831

たびたびすみません。＃４を投稿した後に補足を
拝見しました。
実際実験をする場合に，たとえば初期角度をわずかに
とって初速ゼロではじめます。ちょっと傾けるので，
その角度は実験ごとにわずかに異なります。ところが
その「わずか」な差が，時間的に大きく差が出るという
ことになります。
有限の角度ではっきりしているのなら計算はできますが，
その角度を小さくすればするほど実験上のちょっとした
誤差がとんでもない時間差を生じるというわけですね。

お礼

再びご丁寧にありがとうございました。
よくわかりました。

回答No.4

yokkun831

間違えました。ごめんなさい。
エネルギー保存から，
1/2 ma^2ω^2=mga(cosθ0-cosφ)
ω=dφ/dtより，
dt=dφ/√(cosθ0-cosφ)×√(2g/a)
ゆえに
T=∫[θ0:θ](1/√(cosθ0-cosφ))dφ×√(2g/a)
ですね。
θ0→0で無限大発散，以下同じです。

回答No.3

yokkun831

数学的には答えは無限大になります。
＃２さんの考察であっていると思います。
結果，T=∫[θ0:θ](1/sin(φ/2))dφ×1/2・√(a/g)
となりますが，θ0→0で無限大に発散します。
つまり，釘の真上はつりあいが成立していますから，
数学的には決して動き出さないのです。ちょっと押して
動かしたときは，その初速度やちょっと傾けた初めの
角度を初期条件として有限の時間を数値積分可能ですが，
その条件によって大きく変わることになるでしょう。
ですから，実験的にもこの時間は測定ごとにかなりの
差をもつはずです。

補足

楕円積分を読んで、よくわかりました。
ではおっしゃるように、この時間が求められたとしても、
実際にモデルをつくってもその時間どおりにはいかないということに
なるのでしょうか。

回答No.2

htms42

自由落下ではありません。
円周に沿っての運動では加速度が一定にならないからです。

微分方程式を解く事になります。
微分方程式は運動方程式からでもエネルギー保存の式からでも求められます。
ω＝ｄθ/ｄｔ＝２√(ｇ/ｒ)ｓｉｎ(θ/2)
でもこれを解いてθをｔの関数で表すことは簡単ではありません。

エネルギー保存の式は位置と速さの関係を求めるためのものです。
時間を求める事が出来るのは限られた条件の時だけです。

補足

コメントをありがとうございました。ところで私だけ分かっていないのですが、
ma(θ”sinθ+θ’^2cosθ)=mg-Tcosθ
ma(θ”cosθ-θ’^2sinθ)=Tsinθ
この2式からTを消去すれば
aθ”=mgsinθ
となって同じ式になる。
の部分（私がリンクしたサイトの35382にあるものです）で、
aθ”=mgsinθ
をどう変形するとθ''=-ω^2・sinθ
となるのでしょうか。
また、htms42さんが示してくださった
ω＝ｄθ/ｄｔ＝２√(ｇ/ｒ)ｓｉｎ(θ/2)は、
どのようにして出てきたのでしょうか。
1/2・mv^2のvはωのことなのでしょうか。
すいません、理解が乏しいです。もう一度お願いいたします。

回答No.1

Willyt

自由落下だと直線的に落ちて行きます。設問の場合は棒に錘りがついていますから円運度をしながら落ちて行きます。エネルギー保存則を使って解くと簡単に解けますよ。ＫＥ＋ＰＥ＝const です。

お礼

いち早くご回答ありがとうございました。感謝いたします。