自由落下運動 着地時質量

質問

自由落下運動で接地した時の重さ（質量）はどう計算するのでしょう

質量はどこでも変わんないから言ってることそもそも違いますかね？

僕が言いたいのは接地した時のエネルギー（Ｊ：ジュール）は出るのですが
それだとどの程度の重さがかかるのか実感できなく、重さに変換するにはどうするのだろう？と
思ったのが始まりです
たとえば約5.5gのパチンコ玉も静止時は軽くとも、１００ｍから落とせば殺傷能力がありますよね
その接地した時の重さのようなものを量りたいんです
すいません　語彙不足で・・・

ちなみに式を教えていただければ計算はやりますが参考に
「40kgのものが５mから加速度9.8m/ssで初速は0　空気抵抗はもちろん無し」
でお願いします

回答No.14

mazeran · ベストアンサー

お邪魔します。Ｎｏ，３です。

foomufoomuさんの言うことはよくわかりますが、
>その方法では絶対に解けません。着地時間なんて分かるわけないのですから。
これは、ネットにはびこるデマ情報の一つですから、決して信じないように。

これはちょっといただけないですねえ。

foomufoomuの知識と物理的（数学的）な実力は認めるにしても、実際問題、実社会で、それも企業内での問題だとしたら、かなり実践に対して弱い考え方だと思います。

まだよく検算はしていませんが、結果的に同じものになりませんか？。
ただ、考え方（攻め方）に違いがあるだけのように感じるのですが・・・。

>絶対に解けない・・・
と言われていますが、実社会での力学計算する際、実に頻繁に出てくるやり方です。
これが「間違い」であるとか、「絶対に解けない」などと言われると、今の工業社会の一部ではありますが、すべてが間違いだらけで工業製品を作っていることになります。
もっとも、foomufoomuさんのやり方でも正確な数値は出てきません。
なぜなら、自然界は複雑系ですので、正確な値と言うものは「ない」に等しいからです。
ではどうするかと言うと、「一般論」で論じ、計算しても、実際の現象をシミュレートした値とほぼ同じであり、「誤差」と考えても「安全率」の範囲に入ってしまうからです。

foomufoomuの考え方の場合、「着地点の変形ｄ」と言うのは具体的にどのように測定されるのでしょうか。力を受ける側も与える側も変形しますし、形状や弾性係数（１次モーメントなど）、これこそ近似値は取れても、計算の途中に及ぼす誤差の方が大きい気がします。

Ｆ＝ｍａの考え方でも正確には数値は出てきませんが、出た数値が、答えに対しての「誤差」が少ないのは確かです。
「制振板」と言われる鋼板がありますが、「振動吸収時間」（本来は別の名称）を開発する際、ある一定の錘を当てて、衝撃力の大小で判断します。
今では家庭の洗濯機など、多くの家電の外壁（観・部）材に使われています。
家電のモータ製品が、静かになった第一歩の進化とも言えます。

各企業でいろいろな呼び名がありますが、振動を吸収する時間により衝撃力の「係数」として取り扱っています。
それにより誤差十数パーセント以内にまで持って行って、あとは「シミュレーションソフト」で解析を進める（古いものは「ニュートン法」などで処理している物が多いため、演算に時間がかかります。入れるデータの誤差は小さい方が早いので。）。

実際、衝撃力を正確に得ようとすれば、「実験」が一番早いです。（計算では誤差が大きい。）
しかし考え方であれば、公表はしていませんが、関係する企業が持っている、衝撃を吸収する時間の表のようなもので計算するのが一般的です。（平均とか近似の値で十分です。）

回答No.13

麻野 なぎ（@AsanoNagi）

では、いくつかの補足を。

まず、F = ma という式ですが、高校の物理でもこの式は出てくると思います。
ただ、取り扱っているのが、等加速度運動（aや、Fが一定）だけなので、あまりありがたみはないです。
実は、速度というのは、位置を時間の関数としてみたときの、位置の（時間による）微分です。
さらに、加速度は、速度を時間で微分したものです。
つまりは、位置を時間の関数と見なしたときに、位置の変化を時間で２回微分すると加速度になります。

この考え方に立つと、運動方程式は、かなり強力なものになります。
今回、落下物の衝撃を考えるときに、弾性変形というのは、バネと同じように、かけた力とひずみ量が比例するという関係なので、「F は、変位（位置の変化）に比例します。（ただし、変位と逆方向に力を受けることになります）」
一方で、加速度は変位を２回微分したものですから、運動方程式は

F = ma が、-kl(t) = m(l(t)'') という形になります。（k はバネ定数、l(t) は、時間 t による位置の変化、l(t)'' は、l を t で２回微分したもの）

こういう微分方程式を解くと、この条件で、物体がどのように運動するか計算できるようになります。

あと、物理の式はいろいろな相互関係があります。
例えば、No.5 の回答にある。K=(1+√(1+2h/d)) という式は、一件、落下高さと、物体をそっと置いたときのひずみ量だけに依存しているように見えます。
この式からは、「物体の衝突継続時間」は関係ないようです。
が、実は、d = mgk (g は重力加速度、k はバネ定数）なので、No.10 で示した式、t = (π/2)×√(mk) は、mk = d/g を利用して、t = (π/2)×√(d/g) となります。
つまり、

・ひずみ量が大きい → No.5 の式で、h が大きくなっても、K はあまり大きくならない → t = (π/2)×√(d/g) の d が大きい → 衝突継続時間が長い

ということで、実は、衝突継続時間が衝撃の大きさに関係することがわかります。

一件関係ないことが、相互に関連していたりします。

回答No.12

麻野 なぎ（@AsanoNagi）

No.1 です。
力積の取り扱いですが、まず、衝突する直前の物体の運動量が、衝突して停止するまでの力積（力の時間での定積分という意味で）になるのは、正しいということになります。

そして、衝突した瞬間から、物体が停止（or 速度がゼロになる）瞬間まで、短い間に力は大きく変化するというのも、その通りです。
言い換えれば、衝突している間、Max の力がかかるのもまた一瞬だということになります。

そこで、「衝突時にどのような力がかかるか」を考えるときに、衝突から停止までの全体を考えるときに、平均して、力積の値÷継続時間の力が、「連続して加わった」と考えることは、それほど実情から外れていないと思います。
実際、積分というのは、（この場合）力×時間の一般化でもあるわけですから。

瞬間最大風速と、（平均）風速があるように。
交流電源に、ピーク電圧と実効電圧があるように。

また、塑性変形の場合は、一定の力を受けながら（＝一定の加速度で）停止するわけですから、この場合は、そのままの意味になるのだと思います。

そういうわけで、運動量を、衝突の時間で割った力が連続的にかかったという説明はありだと思います。

もっとも、ご指摘の通り、（弾性変形をする場合）一定の力がかかり続けるわけではないという説明は必要でしょう。

No.1の回答では、「跳ね返ってしまったらどうするんだとか、そういう面倒な点があるわけです」ということで、跳ね返ると話は別という意味で、弾性変形はあえて無視しようとはしたわけですが。

回答No.11

foomufoomu

> としても、「そっと置いたときの２倍の変形量および、力」
> というのは大きすぎるのはないでしょうか？
感覚でものを言ってもしょうがないです。
ｈ＝０で落下するとき、最大変形量をXとすると、
落下高さによる位置エネルギー　E1=m*g*X
地面の変形によるポテンシャルエネルギー　E2=1/2*k*X^2
E1=E2を解くと
X=2m*g/k
そっと置いたときの変形 d=m*g/k なので
X=2d
もちろん、最大の力になるのは、最大変形時です。バネが2倍の変形をするのですから力も2倍

>あと、衝突時間を算出すのも・・・t = (π/2)×√(mk)
結果の式が違っている気もしますが、考え方は正しいです。
これは、前に私が書いた
>> バネ係数を・・・求めて・・・運動方程式（2階微分方程式）をしこしこ解く
という方法です。　力積を使った方法では絶対に解けないことは納得できましたね。

お礼

えぇなんかすいませんでした
お二人の意見読ませていただきましたが
高校生の僕が気安く質問していい内容ではなかったようです・・・
まだまだ物理への理解を深めてから改めて考えさせていただきます
とはいうもののまだこの質問は締め切らないので、お二人の意見
もう少し聞かせていただけると嬉しいです

回答No.10

麻野 なぎ（@AsanoNagi）

No.1 です。

> l(t) = -v0sin(√(1/mk)t), v(t) = v0cos(√(1/mk)t) かなと。(v0 は、衝突時点の物体の速度）

失礼しました。
この式、間違っています。

v(t) = v0cos(√(1/mk)t)
で、これは、l(t) の微分ですから、
l(t) = -(v0/√(1/mk))sin(√(1/mk)t

で、加速度は、v(t) をさらに微分して、

a(t) = v0√(1/mk)sin(√(1/mk)t ということでしょうか。
で、確かに、a(t)m = -(1/k)l(t) ということになるのかと。

さて、a(t)m = F(t) で、t = 0 で衝突して、t = (π/2)×√(mk) で止まるとして、その間を積分すると、
その値は、mv0 になります。

つまりは、弾性衝突でも、ぶつかって停止するまでの力を、時間で積分すると（＝力積）は、衝突時の運動量に等しいと言うことになるのかなと思う次第です。

回答No.9

麻野 なぎ（@AsanoNagi）

No.1 です。
塑性変形の方は、こんな感じで良いのでしょうか？

今、物体が衝突するときの速度を v0 とします。
これが、塑性変形する物体の衝突し、一定の力を受けつつ（＝一定の加速度で減速しつつ）めり込んだとすると、停止するまでの時間を t0 とすれば、加速度 a として、t0 = v0/a になります。
一方で、このとき(加速度 a で減速しつつ、物体のめり込むとき）に受ける力は、この、a を用いて、F = ma になります。
この場合、力は一定なので、力積は F×t0 であり、v0/a × ma = mv0 で、最初の物体が持つ運動量と同じになります。

なので、F = mv0/t0 で算出可能となりますか。

※ただし、物体自体に重力が作用して発生する力は、計算に入っていません。
　これが無視できない条件だと、だめですが。

回答No.8

麻野 なぎ（@AsanoNagi）

No.1です再び。

確かに、力積の定義は時間×力ではなく、力を時間で積分したものですから、No.1 の式は正確ではありません。あと、完全に弾性変形したら、跳ね返る分がありますから、これも含めると間違いです（なので、「跳ね返ったらどうするんだ」という問題はあると。

ただ
> ＞h = 0 の時は、「地面にそっと置いたとき」とは異なるのでしょうか？
> ｈは物体の下面から地面までの距離で、変形量は含んでいません。h=0で手を離すのは、
> ｄ*Kだけ落下させることになります。

としても、「そっと置いたときの２倍の変形量および、力」というのは大きすぎるのはないでしょうか？
また、変形まで考えるのなら、ご指摘の通り、かかる力は一定ではありません。
とすると、どの時点の力になるのでしょうか？
Maxの力だとすると、そっと置いたときの２倍の力が、いきなり手を離したら、かかるということになるのでしょうか？

あと、衝突時間を算出すのも、弾性変形するという前提で（バネ常数が決定できるという前提で）なら、バネ定数 k の単位を、m/N とすれば、
F = ma = l/k （l は変位量、こちらの m は物体の質量）
になり、a = l/(mk) で、a = l'' とすれば、l(t) とv(t) （v(t) は衝突後の速度）が出て、v(t) =0 となるのは、t = (π/2)×√(mk) （単位はsec）で算出できる気がしますが。

l(t) = -v0sin(√(1/mk)t), v(t) = v0cos(√(1/mk)t) かなと。(v0 は、衝突時点の物体の速度）

ひずみゲージ云々は、パチンコ玉が落下するのと同じ地面に、パチンコ玉を置いた状態の変形が計測できるなら、同じ計測手段で、「ひずみが継続する時間」も測定できるかなと思った程度です。

回答No.7

foomufoomu

＞確かに、現実の場合は、・・・分を考慮する必要はあります。
そうではなくて、力積を使った方法では、絶対に答えは得られない（概略の値すら得られない）と言っているのです。

＞ものをそっと固い地面に置いたときの変形量を測定するのも、
＞実際にものを落として、どの程度の時間原則が続いたか測定するのも、
＞同程度の難度だと思いますが。
時間は、物体の重さ、落下高さなどの条件が変わるごとに落して測定するのですか？
物理法則を使うというのは、１回測定しておけば、同様の現象は式を計算するだけで結果を求められるから、意味があるのです。毎回測定するぐらいなら、ひずみゲージなど使って、直接衝撃力を測定したほうがよいです。

物を置いて変形を測定するのは、「変形＝重さ÷バネ係数」のバネ係数を求めるための作業です。一度バネ係数が分かれば、重さ、高さが変わっても式で結果を求められます。

＞ハンマーでぶったたいたときの衝撃（と継続時間）をひずみゲージで・・・
これの測定結果と物体が落下した時の衝突時間の関係は？
これを示すことができるなら、力積も意味ありそうですが、結果的に私が示した方法と同じようなこと（バネ係数をハンマーで求めてエネルギー式で計算する）になるか、運動方程式（2階微分方程式）をしこしこ解くことになるはずです。

＞h = 0 の時は、「地面にそっと置いたとき」とは異なるのでしょうか？
ｈは物体の下面から地面までの距離で、変形量は含んでいません。h=0で手を離すのは、ｄ*Kだけ落下させることになります。

なお、K＝1+√(1+2h/d）は
橋本徹夫著／実務に役立つ 応用力学・公式と例題／山海堂
からの引用ですが、これは、

最初の位置エネルギー　E1=m*g*h
衝突時の変形によるポテンシャルエネルギー　E2=1/2*k*D^2
（k:バネ係数 D:衝突時の変形　衝撃力=k*D）

を　E1=E2　として解きます。
ただし、これは、衝突中の重力の影響と、ｈにはdの影響を無視した場合ですから、それらを加味したのが前述のKの式です。

それから、かりに衝突時の時間が分かるものとしても、衝突時の加速度は一定ではありませから（加速度はバネの変形に比例し、後になるほど大きくなる）最大衝撃力はNo.1の式の2倍（だったと思う）になります。この点でも間違っています。
加速度が一定になるのは、非弾性（砂などに落下）のときです。この場合は、前に書いたように、計算するまでありません。

回答No.6

麻野 なぎ（@AsanoNagi）

No.1 です。
確かに、現実の場合は、落下物がぶつかった地面を変形させるためのエネルギーが消費されるので、その分を考慮する必要はあります。

でも、

> 着地時間なんて分かるわけないのですから。

というのは、ものをそっと固い地面に置いたときの変形量を測定するのも、実際にものを落として、どの程度の時間原則が続いたか測定するのも、同程度の難度だと思いますが。
ハンマーでぶったたいたときの衝撃（と継続時間）をひずみゲージではかったことはありますが、これでは駄目なのでしょうか？
（もちろん、これで測定できるのはひずみ量であって、力ではないので、あとで、静的に力を掛けて同じひずみになる力を探しましたが）

あと、

> K=(1+√(1+2h/d))

私はこの式の背景は理解できませんでしたが。
h = 0 の時は、「地面にそっと置いたとき」とは異なるのでしょうか？
h = 0 のとき、k = 2 になる気がするのですが？

回答No.5

foomufoomu

やはり出てますねぇ。着地時にかかる力は、力積とか、着地時の時間からわかるとかいう答えが。。。。その方法では絶対に解けません。着地時間なんて分かるわけないのですから。
これは、ネットにはびこるデマ情報の一つですから、決して信じないように。

正しい方法は、着地点が、どのような変形性情をしているかで、2通りになります。
１．弾性変形
最初の位置エネルギーが、最終的に地面を変形させるポテンシャル・エネルギーに代わる、という方法で解きます。結果だけを書くと。
まず、着地点に落下物をそっと置いて、そのときの着地点の変形ｄを調べます。これを高さｈから落とすとして、
K=(1+√(1+2h/d))
を計算します。
これで、落下時には、着地点にかかる力も、着地点の変形も、そっと置いた場合のK倍になります。

２．非弾性変形
砂、柔らかい土、といった、バネ性情を持たない物の上に落ちる場合です。
これは、簡単で、それらは一定以上の力がかかると、そのままどんどん変形してしまい、それ以上の力は発生しません。したがって、物体を着地点にぐいぐい押しつけて、変形するときの力を測れば、それが落下時の力になります。

回答No.4

hitokotonusi

>たとえば約5.5gのパチンコ玉も静止時は軽くとも、１００ｍから落とせば殺傷能力がありますよね
>その接地した時の重さのようなものを量りたいんです

これはどのくらいの勢いをもった運動かということで、質量や重さではなく運動の量です。
これをあらわす物理量にはその物ずばりの運動量という名前があり、質量×速度で定義されています。