運動方程式 滑車の張力について

質問

質量3MのおもりAと、質量MのおもりBを糸でつなぎ、滑車にかけて手を放す。
同時に滑車を加速度aで真上に引き上げたとき、おもりをつないだ糸の張力はいくつか？
ただし、重力加速度はg（g > a）とし、滑車と糸の質量、滑車の摩擦、空気抵抗は無視する。

滑車を引き上げない問題であれば、それぞれのおもりについての運動方程式は立てられるのですが（加速度α，張力Tとして）
A : 3Mα = T - 3Mg
B : Mα = 3Mg - T

上記の式に、滑車の力を加えて解けば良いのかと思ったのですが、そこから先がどうにも上手くできません。
解き方（考え方）はこれであっているのでしょうか？
因みに答えは2/3M（g + a）でした。
よろしくお願いします。

回答No.2

rnakamra · ベストアンサー

二つの考え方を示します。
1番目の方が簡単です。2番目は厄介です。

1.滑車とともに動く系で考える
滑車とともに動く系からみると、滑車は止まっていてその代わり全体に慣性力が働いているように見える。
上向きの加速度で運動している系であるので、その慣性力は下向きに働きその大きさは質量mに対してmaとなります。
A,Bそれぞれにかかる張力をT,加速度をα(Aが下向きに受けるときを正とする)とするとそれぞれの運動方程式は
A:3Mα=3Mg+3Ma-T=3M(g+a)-T
B:Mα=T-Mg-Ma=T-M(g+a)
これは加速度aが働いていない場合の式でg→g+aとした式と一致する。
よって得られる結論もg→g+aとして物が得られる。
とまっている系から見た場合には、張力は変化しないが加速度が変化するので注意を要する。

２．止まっている系で考える。
Aの加速度をa1,Bの加速度をa2(ともに上向きを正とする)とおき、方程式を立てる。
A:3Ma1=T-3Mg
B:Ma2=T-Mg
これだけではこの方程式は解けない!!もう一つ式が必要となる。
a1とa2の関係が必要となる。
この場合、糸の長さが変化しないことがかぎとなる。
つまり、滑車とAの相対速度と滑車とBの相対速度は向きが逆で大きさが等しくならないといけない。当然、相対加速度も同様である。
滑車から見たAの加速度は滑車の加速度がaであることから"a1-a"
滑車から見たBの加速度は滑車の加速度がaであることから"a2-a"
この二つが向きが逆で大きさが等しい、つまり足せば"0"
(a1-a)+(a2-a)=0→a1+a2=2a
これで式が出揃い後はこの連立方程式を解くことになります。

1.の場合、AとBの加速度の絶対値を等しいと置くことができ、必要な式の数を減らせます。考え方も慣れれば簡単。
2.の場合、AとBの加速度の別途関係式を加えないといけなくなり解くのに手間がかかります。

実際は物の見方が違うだけで結論は全く同じになるためどちらか好きな解法を選んでください。

お礼

理解することができました。
丁寧な解説、どうもありがとうございました。

回答No.1

spring135

＞因みに答えは2/3M（g + a）でした。
これは答えになっていません。正確に写してください。
もしT=3Mg/2が正解ならば下記を読んでください。
加速度αを上向きを正に採るならば
A : -3Mα = T - 3Mg　　（1）
B : Mα = T - Mg　　　　（2）
ＱＥＤ

補足

ご回答ありがとうございます。

＞正確に写してください。
糸の張力として正しいものはどれか？という問（五肢択一式）に対して、
2/3・M（g + a）　の選択肢が答えとなっていました。

質問に書きましたそれぞれのおもりについての運動方程式は、私の間違いでした。
spring135さんの示された式で、滑車から手を放すとき（おもりAが下がり、おもりBが上がるとき）の糸の張力は求められました。

ただ、問いではさらに、”同時に滑車を加速度aで真上に引き上げる”という動作が加わっています。
その場合（1）、（2）の式はどのように変化するのでしょうか？