微分の計算

質問

f(x)=exp^x*sinxなのですが、
-π＜x＜πのもとで、極大極小を考える場合、
最初のexp^xはどのように扱えばよいのでしょうか？
たとえば、exp^πというような形がありえるのでしょうか？
xにラジアンの数字をいれた時のf(x)の計算の考え方を教えて頂けないでしょうか？
よろしくお願いします。

回答No.2

nettiw · ベストアンサー

-π＜x＜π
f(x)=(e^x)(sinx)
f'(x)
=(e^x)(sinx)+(e^x)(cosx)
=(e^x)(sinx+cosx)
=(e^x)√2[sin{x+(π/4)}]

-π+(π/4)＜x+(π/4)＜π+(π/4)
sin{x+(π/4)}=0
x+(π/4)=0 ----> x=(-π/4)
x+(π/4)=π----> x=(3π/4)

x=(-π/4)-ε---->sin{-ε}＜0 ---->単調減少。
x=(-π/4)+ε---->sin{+ε}＞0 ---->単調増加。
x=(-π/4)で、
極小値 f(-π/4)=[e^(-π/4)][sin(-π/4)]=-[e^(-π/4)]/√2

x=(3π/4)-ε---->sin{π-ε}＞0 ---->単調増加。
x=(3π/4)+ε---->sin{π+ε}＜0---->単調減少。
x=(3π/4)で、
極大値 f(3π/4)=[e^(3π/4)][sin(3π/4)]=[e^(3π/4)]/√2

増減は、　　＼／＼
また、f(-π)=f(π)=0 より、
極小値は最小値であって、極大値は最大値であると・・・。

お礼

早速のご回答有難うございました。
大変参考になりました。
expのπ乗という概念に戸惑いましたが、
スッキリしました。

回答No.3

proto

三角関数で云うところのラジアンという量は、偏角を表すただの無次元量にすぎません。
ほかの例を挙げるとすればy=2xなどの比例定数2と(無次元量という意味では)同じです。
偏角を表すというニュアンスを持たせるためにラジアンと単位をつけるだけで、実際はごく普通に実数と変わりません。

　　sin(π) = 0
といったとき、πはただの実数3.1415…のことですから
　　sin(3.1415…) = 0
と書くのと変わりません。
もちろん
　　exp(π) = 23.1406926…
についても、e=2.71828…,π=3.1415…ですから
　　(2.71828…)^3.1415… = 23.1406926…
という計算をしているにすぎません。

三角関数に代入する用の数、それ以外の関数に代入する用の数、と区別されているわけではないのですよ。

もちろん三角関数に偏角っぽくない数θ=1を代入して、
　　sin(1) = 0.841470985…
という計算だってできます。
このとき1(ラジアン)と1°を間違えないように区別するため、偏角をラジアンで表すと呼ぶだけです。
このときも1(ラジアン)と普通の実数1を特別区別する必要はありません。

お礼

丁寧な解説を有難うございます。
大変勉強になります。
無次元量という概念なのですね。
これらを参考に頑張りたいと思います。

回答No.1

kashimezai

ラジアンは角度の無次元数だから普通に数字として扱えます。
exp^πなどもありえます。

お礼

回答有難うございます。
そうなのですね。
文系であまり馴染みがなかったのですが、
参考になりました。