対称点

質問

ある軸があり、その軸よりも下に異なる２点A,Bがあるとき

軸上に点Ｑをとったとき、ＡＱ＋ＢＱが最小になるのは

Ａを軸に対称な点Ｃをとり、ＣＱ＋ＢＱにすることで

わかるというのはなぜですか？

ＡＱ＝ＣＱが相似で等しいことはわかるのですが
なんとなく理解できません。

回答No.1

kussan03 · ベストアンサー

軸上のある点Qに対して、問題はAQ+BQが最小となるQの場所を
求めることですが、AQ+BQ=CQ+BQとなることはお分かりですね。
CQ+BQとはCを出発してQを通ってBにたどり着く道の長さです。
一方CとBをつなぐ最短の道はその２点間の直線であることは
小学校知識ですね。
とするとQがその直線上にあれば、CQ→QBは一直線になるので
CQ+QBの長さも最短になります。

それで、Qの位置を求めることができます。

回答No.2

take_5

所謂“ヘロンの問題”。　過去に同じような質問に答えた事があるが、それをコピーしておく。

問題

平面上に２点Ａ（－１，３）、Ｂ（５，１１）がある。
点Ｑが直線ｙ＝２ｘ上にあるとき、ＱＡ+ＱＢを最小にする点Ｑの座標を求めよ。

点Ａの直線：ｙ-2ｘ＝0　‥‥(1)に関する対称点をＡ´とし、線分ＢＡ´と(1)との交点をＱとすれば、
(1)上の任意の点Ｑ´に関して、ＡＱ´＋ＢＱ´＝ＢＱ´＋Ａ´Ｑ´≧Ａ´Ｂ＝ＢＱ＋Ａ´Ｑ＝ＡＱ＋ＢＱ。
よって、Ａ´を求めると、Ａ´（3、1）。
従って、直線Ａ´Ｂの方程式は、2y＝-x＋5　‥‥(2)
(1)と(2)の交点Ｑが求めるものから、連立してＱ（1、2）。