超越数

質問

実数は非可算ですが、代数的数は可算と思いますので、超越数のほうがはるかに多くあることになると思います。πやeは超越数、オイラーの定数が超越数かは不明ということはよく知られていますが、これ以外に超越数であることが示されている数はあるのでしょうか。

回答No.2

Tacosan · ベストアンサー

「a を 0 でも 1 でもない代数的数, b を 代数的無理数とすると a^b (a の b 乗) は超越数」という定理があります (代数的数: 整数係数代数方程式の解, 代数的無理数: 有理数でない代数的数). その結果として 2^√2 や e^π = i^(-2i) は超越数となります.

これとは別に, 「10^(i!) を i = 0 から ∞ まで加えた値」も超越数になることが証明されています. 歴史的にはこれが超越数と証明された最初の数だと思います.

お礼

ご回答ありがとうございます。πやeのような意味のある数で、超越数となるものをご存知でしたら、教えていただければ幸いです。ファイゲンバウム定数なんかはどうでしょうか。10^(i !) を i = 0 から ∞ まで加えると超越数ではなく、発散するように思います。

回答No.4

Tacosan

#3 の通りです m(_._)m

回答No.3

fuzisan3776

「10^(i!) を i = 0 から ∞ まで加えた値」ではなく、「1/(10^(i!)) を i = 1 から ∞ まで加えた値」
（=0.110001000000000000000001000・・・)だと思います。

お礼

ご回答ありがとうございます。

回答No.1

sta_vanilla

２の「ルート２乗」とか、自然対数ｅのπ乗とか・・・。

海外サイトなんですが、その他については以下に詳しいことが載っています。
数学に関する殆どすべての調べものが、このサイトで間に合います。
英語力が要るのが難点なんですが（苦笑）

参考URL：

http://mathworld.wolfram.com/TranscendentalNumber.html

お礼

ご回答ありがとうございます。2^√2は感覚的にも超越数になりそうな気がします。オイラーの定数も超越数のような気がしています。