複素数が引数の円柱関数

質問

引数が複素数の円柱関数の解、及び計算手法がわかりません。｜実数部｜＝｜虚数部｜のケルビン関数ではなく、
｜実数部｜≠｜虚数部｜の場合の解について教えてほしいです。宜しくお願いします。

回答No.2

ojisan7

参考文献は、まだ探していないのですが、Bessel関数とNeumann関数は引数が、実数でなく、複素数の場合でも当然成り立ちます。これは、級数解法を振り返ってみれば当然理解できることだと思います。Mcdonald関数やKelvin関数はBessel関数・Neumann関数の特殊なものという把握でよいのではないでしょか。

お礼

度々ありがとうございます。
Mcdonald関数やKelvin関数はBessel関数・Neumann関数の特殊なもの、つまり引数が複素数で場合の中で比較的単純な場合における解、という風に解釈する事ができるんですね。
やはり計算量やプログラムの行数が多くなる事を覚悟しなければならなそうですね。
参考になりました。

回答No.1

ojisan7

ご質問の意味は、Besselの微分方程式の解である円筒関数の導き方と、その計算手法についてだと思います。Besselの微分方程式はFuchs型の微分方程式ですから、確定特異点を持ちます。このような微分方程式は、級数解法によって、解を求めるのが普通です（この、手順についてはご存じだろうと思います）。この方法で、級数の各項の係数をもとめれば、円筒関数が得られると思います。（実際、計算するのは結構大変な作業だと思いますが）階乗「！」が現れたら、それをΓ関数で置き換えておきましょう。J_{ν}とJ_{-ν}の線型結合により、J_{ν}と線型独立なNeumann関数を得ることができます。円筒関数にはいろいろな性質がありますが、それについては、専門書を読んで下さい。ともかく、特殊関数は計算量が多くなることを覚悟しなければなりません。それなりの、根気が必要だと思います。

お礼

質問にご回答頂き、ありがとうございます。
Besselの微分方程式で引数が、
実数であれば、Bessel,Neumann,Hankel関数
純虚数であれば、変形Bessel、Mcdonald関数
|実数部|＝|虚数部|であればKelvin関数
を解に持つ事を参考書(主にHandbook of Mathematical Functions(1970))などで調べ、これらの関数に関してはC++で計算プログラムを作成しました。
ですが、上記のように|実数部|≠|虚数部|の場合、やはり級数計算で値を求める以外方法は無いのでしょうか・・・何かいい参考文献があれば教えていただきたいです