ｔ検定

質問

よろしくお願いします。
　ある製品に対する調査をしたところ，平均３．１９（標準偏差０．７１）　この製品にある改良を加えたところ，平均３．５０（標準偏差０．７６）になりました。（標本数３６）
　ｔ値は，（３．５－３．１９）／（０．７６／３６の平方根）と本に載っていました。（（０．７６／３６の平方根）は標準誤差ですね。）この計算をすると２．４５になります。
　有意水準を５％とすると，Excelで＝TINV(0.05,35)という計算により，２．０３を得ました。得られたｔ値２．４５は有意水準の２．０３より大きいので，有意差有りと考えました。

　そこで質問です。
１　以上の計算はあっているでしょうか。
２　SPSSというソフトで計算をしたらｔ値が２．９３になったと言われたのですが，SPSSというソフトはどのような計算をしているのでしょうか。（私はSPSSを使ったことがありません。）
３　私が参考にした本によれば，標準偏差は改良後のものを使えばよいことになっていましたが，改良前のものを使うと数学的な意味がどのように変わるのでしょうか。（もっとも同じ集団の改良前，改良後ですから，標準偏差が大きく変化することはないのでしょうが…）
４　改良前の平均－自由度35のｔ値×標準誤差～改良前の平均＋自由度35のｔ値×標準誤差　改良後の平均がこの範囲にないから有意差があるという考え方は，数学的に問題があるでしょうか。

　以上，要領を得ないかも知れませんが，よろしくお願いいたします。　
　以上３点よろしくお願いいたします。

回答No.1

jamf0421 · ベストアンサー

１．改良品の標準偏差（偏差の平方和をサンプル数でわってから平方根をとったもの）を使うならばtの計算の分母は0.76/√（36-1）=0.76/√35です。それで自由度35のt分布の計算になります。t=2.41になります。
２．SPSSは統計処理のSoftですが、私も使ったことはありません。ただしt-分布の計算は同じ式を使っているはずです。
http://www.spss.co.jp/
３．おやりになっていることは、ある改良後の母集団から36個のサンプルをとって、その平均値が改良前の平均値から著しくはずれていなければ、具体的にはt値が危険率5%（本当は平均値が変わっていないのに、変わったとしてしまう第一種の誤りの確率5%)に対応する値より小さければ、改良後の平均値は改良前の母集団と同じ、という議論をしている筈です。（実際有意差が出たので改良効果があるということになるのですが...）この時、改良後の想定母集団の標準偏差不明は不明で、標本の分散を使っています。そうなると計算している数字はt-分布するのです。

もし母集団の標準偏差を使ったら、つまり（3.5－3.19）／（0.71/√36)を計算するなら（ちなみにこんどは36を使います。）、これは改良後の標準偏差が0.71とわかっている母集団からの36個のサンプルの平均値と、改良前の母集団の平均値の差をとり、母集団の標準偏差を√36でわったものということです。この計算値はt-分布でなく標準正規分布を与えます。計算すると値は2.61になります。標準正規分布表で両側あわせて0.05の値を調べると1.96となります。(t-分布表の自由度∞の数字になります。）むしろ±2.61の範囲でカバーできる率を表からみると、0.991、すなわちこんなに平均がはずれる確率は0.009(0.9%)ということになります。
４．今の例で標準誤差ということばにはちょっと抵抗がありますが、おっしゃられていることに問題はないと思います。

お礼

御回答ありがとうございました。あわせて，お返事が遅くなってしまい申し訳ございませんでした。大変助かりました。